2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 풀이 (240715 풀이)

2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 풀이 (240715 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 7월 모의고사 수학 15번

 

 

 

풀이

주어진 수열 $a_n$을 관찰하면 만약 $a_n$이 $3$의 거듭제곱꼴이라면 $1$이 될 때 까지 $3$으로 나누고

그렇지 않다면 $6$을 더해나가는 수열이다.

 

1) $a_n$이 $1\leq n \leq 7$ 에서 $3$의 거듭제곱꼴이 되는 항이 존재하는 경우

 $a_n$의 변화는 다음과 같다. (편의를 위해 $243$에서부터 나열한다.)

$$243 \to 81 \to 27 \to 9 \to 3 \to 1 \to 7 \to 13 \to 19 \to 25 \to \cdots$$

여기서 인접한 네 항의 합이 $40$이 되는 경우는 아래와 같이 두 경우가 존재한다.

$$40=27+9+3+1,\quad 40 = 1+7+13+19$$

 

따라서 $a_4 = 27$이거나 $a_4 = 1$인 경우를 생각하면 된다.

 

i) $a_4 = 27$인 경우

$a_3 = 81$인 경우와 $a_3 = 21$인 경우가 존재한다.

 

$a_3 = 81$인 경우 $a_2 = 243$이거나 $a_2 = 75$이고 순서대로 $a_1 = 237$, $a_1 = 69$이다.

 

$a_3 = 21$인 경우 $a_2 = 15$, $a_1 = 9$인데 이는 모순이다. 

(우리는 역으로 $6$씩 증가시켜가며 이전항을 찾았는데 만약 $a_1 = 9$라면 $a_n$의 정의로부터 $a_2 = 3$이어야 하기 때문이다.)

 

ii) $a_4 = 1$인 경우

$a_3 = 3$, $a_2 = 9$, $a_1 = 27$이다.

 

 

2) $a_n$이 $1\leq n \leq 7$에서 $3$의 거듭제곱꼴이 되는 항이 존재하지 않는 경우

$4a_4 + 36 = 40$에서 $a_4 = 1$이다. 그런데 이 경우는 이미 위에서 계산하였다.

 

이상의 내용을 수형도로 정리하면 다음과 같다.

수형도

$a_1$로 가능한 값은 표에서 빨간색 수의 합이므로 $237+69+27=333$이다.

 

 

 

경우를 나눠 접근하면 무난하게 풀리는 수열 문항 같습니다.