2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번 풀이 (240729 풀이)

2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번 풀이 (240729 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번에 대해 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번

 

 

 

풀이

(나)의 양변을 미분하면

$$2xf'(x^2 + 1) = 2ae^{2x} + b$$

이고 양변에 $x=0$을 대입하면 $b=-2a$임을 얻는다. 식을 정리하면

 

$$2xf'(x^2 + 1) = 2ae^{2x} - 2a$$

이고, 양변을 $2x$로 나눈 뒤 $x\to 0+$인 극한을 취하면

$$f'(1) = \lim_{x\to 0+}f'(x^2 + 1) = 2a$$

이다.

 

한편 (가)에  $x\to 1-$인 극한을 취하면 $f'(1)=2=2a$에서 $a=1, b=-2$이다.

 

(나)로부터 $f(1) = 1$이고, (가)를 적분하면

$$f(x)=-x^2 + 4x - 2\quad (x<1)$$

임을 얻는다. 따라서

$$\int_0^1 f(x)dx = - \frac{1}{3} $$

이다. 한편

\begin{align}
\int_1^5 f(x) \, dx &= 2\int_0^2 t \, f(t^2 + 1) \, dt \quad (x = t^2 + 1) \\
&= 2\int_0^2 (t e^{2t} - 2t^2) \, dt \\
&= \frac{3}{2}e^4 - \frac{61}{6}
\end{align}

이다. 따라서

\begin{align}
\int_0^5 f(x) \, dx &= \int_0^1 f(x) \, dx + \int_1^5 f(x) \, dx \\
&= \frac{3}{2}e^4 - \frac{21}{2}
\end{align}

이고 $p+q = 12$이다.

 

 

 

무난하게 주어진 조건을 이용하면 풀리는 문제 같습니다.