[편입] 2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2023년 서울시립대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울시립대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(서울시립대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제 및 서식자료실)
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
로피탈의 정리를 이용하면 구하는 극한값은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= \frac{f'(3)}{2\sqrt{f(3)}} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
충분히 큰 실수 $t$에 대하여 근사적으로
$$\ln(1+e^t) \approx \ln(e^t) = t$$
로 생각하면 구하는 극한값은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &\approx \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2}\int_0^{x} tdt \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
테일러전개를 이용하면
$$e^{0.001} = 1 + 0.001 + \cdots$$
이므로 구하는 근삿값은 $1.001$이고 따라서 자릿수의 합은 $2$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
(가) 우변을 직접 제곱하면
$$\begin{align}
1+2\sinh^2 x &= 1+2\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 \\
&= 1+\frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{2} \\
&= \cosh 2x
\end{align}$$
이다. (참)
(나) $-$부호가 없어야한다. (거짓)
(다) 함수 $y=\sinh^{-1}x$는 기함수이므로 맞다. (참)
(라) 함수 $y=\sin^{-1}x$는 기함수이므로 틀리다. (거짓)
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
정육면체의 한 변의 길이를 $l$이라 하면 부피 $V$는
$$V = l^3$$
이고 겉넓이 $S$는
$$S = 6l^2$$
이다. 문제의 조건을 해석했을 때
$$\frac{dV}{dt} = 10, l = 5$$
이다. 첫 식의 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dV}{dt} = 3l^2 \times \frac{dl}{dt}$$
에서 위에서 찾은 값들을 전부 대입했을 때
$$\frac{dl}{dt} = \frac{2}{15}$$
이다. 이제 두 번째 식의 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dS}{dt} = 12l\times \frac{dl}{dt}$$
에서 마찬가지로 값들을 전부 대입하면
$$\frac{dS}{dt} = 8$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
$\cos x=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{t^3}dt \\
&= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
(가) 분모의 지수함수의 속도가 훨씬 빠르므로 수렴한다.
(나) 일반항의 극한이 0이 아니므로 발산한다.
(다) 근판정법으로부터 수렴한다.
(라) 교대급수판정법으로부터 수렴한다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
여인수 (수반행렬)을 이용한 역행렬의 정의로부터
$$\begin{align}
A^{-1} &= \frac{1}{\det A} \text{adj}A \\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
& & 8 \\
1 & -1 & \\
& &
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서 $c+d+e=2$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
틀린것은 (가), (마)이다.
(가) 행렬곱은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.
(마) $(AB)^T = B^TA^T$가 되어야 한다.
나머지 선택지의 경우 행렬에 대한 연산의 성질로부터 참이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
곡면
$$f(x,y,z)=-\frac{2}{\pi}\sin (\pi x)+e^{(x+1)y} - \frac{1}{2}\sinh(2y) -z = 0$$
의 경도벡터는
$$\nabla f = (-2\cos(\pi x) + ye^{(x+1)y}, (x+1)e^{(x+1)y} - \cosh(2y), -1)$$
에서 주어진 점을 대입하면 경도벡터는 $(2,-1,-1)$이다.
따라서 구하는 접평면은 벡터 $(2,-1,-1)$을 법선벡터로 하고 한 점 $(-1,0,1)$을 지나므로
$$P : 2x-y-z = -3$$
이다. 그런데 문제에서 제시하는 평면의 상수부분이 $1$이므로 양변을 $-3$으로 나눈 뒤 계산해보면
$a+b+c=0$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
사이클로이드 곡선 한 아치
$$r(t) = (a(1-\cos t), a(1-\sin t))\quad (0\leq t\leq 2\pi)$$
의 길이는 $8a$이다.
한편 문제는 두 아치의 길이이므로 $16r$이 구하는 길이이고, 이 값이 $16$이다.
따라서 $r=1$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi\int_1^4 3x\sqrt{x}dx \\
&= \frac{372}{5}\pi
\end{align}$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
주어진 극곡선의 식을 정리하면
$$r=2\cos^2 \theta - 1 = \cos (2\theta)$$
가 되므로, 구하는 넓이는 계수가 $1$인 4엽장미의 내부넓이인 $\displaystyle\frac{\pi}{2}$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
직선 $l_1$의 방향벡터 $v_1$은 처음 제시된 두 평면의 법선벡터의 외적인
$$v_1 = (1,-2,-1)$$
이고 직선 $l_2$의 방향벡터 $v_2$는 다음으로 제시된 두 평면의 법선벡터의 외적인
$$v_2 = (1,1,1)$$
이다. 따라서 두 직선의 사잇각 $\theta$에 대하여
$$\cos\theta = \frac{v_1 \circ v_2}{|v_1| \times |v_2|} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$
이고, 이를 통해
$$\sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$$
임을 얻는다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
주어진 공간곡선의 식에서 $\sin\theta = t$로 치환하면 주어진 공간곡선은
$$r(t) = (t, t^2, 2t^2)\quad (0\leq t\leq 1)$$
와 같다. 이제 미분하면
$$\begin{align}
& r'(t) = (1, 2t, 4t) \\
& r''(t) = (0,2,4)
\end{align}$$
이다. 따라서 이 곡선의 곡률 $\kappa(t)$는
$$\kappa(t) = \frac{|r'(t)\times r''(t)}{|r'(t)|^3}=\frac{\sqrt{20}}{(1+20t^2)^{\frac{3}{2}}} \quad (0\leq t\leq 1)$$
인데, 주어진 곡률이 최대일때는 분모가 최소가 될 때이고, 이는 $t=0$일 때이다.
따라서 곡률의 최대는 $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
$x+y+z=1$이므로
$$f(x,y,z)=1+y+2z$$
가 된다. 한편 주어진 원기둥을 매개화했을 때
$$y= \frac{\sqrt{5}}{2}\cos t,\quad z=\frac{\sqrt{5}}{2}\sin t$$
이므로 이를 대입하면
$$\begin{align}
f(x,y,z) & =1+y+2z \\
&= 1+\frac{\sqrt{5}}{2}\cos t + \frac{2\sqrt{5}}{2}\sin t \\
&= 1+\frac{5}{2}\sin (t+\alpha) \\
&\leq 1+\frac{5}{2} \\
&= \frac{7}{2}
\end{align}$$
이므로, 주어진 함수의 최대는 $\displaystyle\frac{7}{2}$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
방향도함수가 최소가 되는 방향은 경도벡터의 반대방향이다.
한편 주어진 점에서의 경도벡터는
$$\nabla f = (2, 2, -1)$$
이므로, 이의 방향이 반대가 되는 단위벡터 $v$는
$$v = \frac{1}{3}(-2,-2,1)$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
이중적분의 순서변경을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{6}}\int_0^{\sin y}\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dydx \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{6}} y dy \\
&= \frac{\pi^2}{72}
\end{align}$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
주어진 곡선 $C$는 원 $x^2 + y^2 =4$를 반시계방향으로 한 바퀴 도는 경로이다.
이 원의 내부를 $D$라고 하면 그린정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= -3\iint_D (x^2 + y^2) dA \\
&= -3 \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 dr d\theta \\
&= -24\pi
\end{align}$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
오류문항이라고 생각합니다.
[2024.04.11 내용추가]
오류임을 보이는 방법은 두 가지가 있는데, 첫 번째 방법은 다음과 같다.
[방법 1]
주어진 항등식의 양변을 제곱하면
$$x^4 (1+y) = y^2(1+x^2)$$
을 얻는데, 이를 $y$에 대한 이차방정식으로 보고 풀면
$y=x^2$이거나 $y=-\frac{x^2}{x^2 + 1}$임을 얻는다.
이제 문제에서 $y\neq x^2$이라고 했으므로, 우리는 자연스럽게 위의 항등식이
$$y=-\frac{x^2}{x^2 + 1}$$
을 나타낸다고 생각해볼 수 있다.
그러나 이 식을 직접 주어진 식에 대입해보면
$$\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}$$
인데, 이는 $0$이 아닌 실수 $x$에 대하여 좌변은 양수, 우변은 음수이므로 모순이다.
■ 왜 이런 문제가 발생할까?
더 쉬운 예시로, 다음과 같은 방정식을 푼다고 생각해보자.
$$\sqrt{x+5} =x-1$$
이때 양변을 제곱하여 $x$에 대한 이차방정식을 풀면
$$x=-1, 4$$
임을 얻는데, $x=-1$은 실제로 대입해보면 등식이 성립하지 않는다.
문제가 발생한 이유는 양변을 제곱하는 행위가 해를 추가로 만들기 때문인데
가령 방정식 $x=a$의 양변을 제곱하면
$$x^2 = a^2$$
에서 $x=\pm a$라는 해가 얻어진다. $x=a$를 제외한 $x=-a$라는 해가 추가로 생긴 것이다.
(이를 무연근이라고 한다.)
이렇듯, 양변을 제곱하는 행위는 동치변형이 아니므로 구한 해를 반드시 다시 대입하여
실제로 식이 성립하는지 확인해보아야 한다.
이 내용을 이해하고 다시 원래의 문제의 풀이로 돌아가보면 위의 등식의 해가
$$y=x^2, y=-\frac{x^2}{x^2 + 1}$$
인데, 두 번째 해는 대입해봤을 때 등식이 성립하지 않으므로 (무연근) 등식이 나타내는 곡선은
$$y=x^2$$
이다. 그러나 문제의 조건에서 $y\neq x^2$이라고 제시되어 있으므로 문제오류.
[방법 2]
다음과 같은 함수를 생각하자.
$$f(t) = \frac{\sqrt{1+t}}{t}$$
그러면 미분을 통해 (또는 증감표를 통해) 임의의 실수 $k$에 대하여 방정식
$$f(t) = k$$
를 만족시키는 실수 $t$는 정확히 한 개 존재한다.
바꿔 말한다면, 만약 어떤 두 실수 $a, b$가
$$f(a)=f(b)$$
를 만족시킨다면, 자동적으로
$$a=b$$
가 성립한다는 뜻이다.
이제 문제로 돌아가서, 제시된 등식의 양변을 $x^2 y$로 나누면
$$\frac{\sqrt{1+y}}{y} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}$$
이 되는데, 위에서 정의한 함수를 이용하여 이 등식을 다시 쓰면
$$f(y) = f(x^2)$$
와 같다.
그런데 바로 위에서 두 실수 $a, b$가 $f(a)=f(b)$를 만족시킨다면 $a=b$라고 했으므로
$$f(y) = f(x^2) \quad \Longrightarrow\quad y=x^2$$
임을 의미한다. 이는 곧 문제에서 주어진 등식이 $y=x^2$을 나타낸다는 것을 의미한다.
그런데 문제의 조건에서 $y\neq x^2$이라고 하였으므로 모순이 발생한다. 즉, 문제오류이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
5개의 점이 이루는 육면체의 모양은 두 사면체가 연결되어 있는 모양이다.
따라서 (한 점) - (세 점) - (한 점)의 형태로 이루어져 있을텐데, 문제에서 주어진
여섯개의 면을 차분히 읽어보면 주어진 육면체는 두개의 사면체
$$A-BCD,\quad E-BCD$$
의 연결임을 알 수 있다. 따라서 두 사면체의 부피를 구하자.
사면체 $A-BCD$의 부피는
$$\begin{align}
\text{Vol}(A-BCD)&=\frac{1}{6}\left|\det\begin{pmatrix}
-1 & 0 & -2 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}\right| \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이고 사면체 $E-BCD$의 부피는
$$\begin{align}
\text{Vol}(E-BCD)&=\frac{1}{6}\left|\det\begin{pmatrix}
-2 & -3 & -2 \\
0 & -2 & 1 \\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix}\right| \\
&= \frac{3}{2}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 육면체의 부피는 $\frac{1}{2}+\frac{3}{2} = 2$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
변수분리하면 주어진 미분방정식은
$$\left(1-\frac{1}{y+1}\right)dy = \frac{1}{x\ln x}dx$$
에서 양변을 적분하면
$$y-\ln(y+1) = \ln(\ln x) + k$$
에서 $y(e)=1$을 대입하면 $k=1-\ln 2$임을 얻는다.
한편 $\ln (\ln x)$를 좌변으로 이항하면 $f(x,y) = k$꼴이 되므로
$$C=k=1-\ln 2$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
함수 $y(x)$의 라플라스변환을 $Y$라 하자. 양변을 라플라스변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{2s+22}{(s+4)(s+6)} \\
&= \frac{7}{s+4} - \frac{5}{s+6}
\end{align}$$
에서 다시 역변환하면
$$y(x) = 7e^{-4x} - 5e^{-6x}$$
이다. 따라서 $ac=-35$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
$F(s)$를 역변환 하기 위해 부분분수 분해하면
$$\begin{align}
F(s) &= \frac{3(s+1) + (s+5)}{(s+1)(s+5)} \\
&= \frac{3}{s+5} + \frac{1}{s+1}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$f(t)=3e^{-5t} + e^{-t}$$
이다. 따라서 $ab+cd = 8$이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
함수 $y(t)=\cos 2t$의 라플라스변환은
$$F(s) = \frac{s}{s^2 + 4}$$
이다. 주어진 함수의 라플라스 변환은 $F(s+3)$이므로 정답은 3번이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
주기가 $2p$인 함수의 퓨리에 급수 표현은
$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{p}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{p}\right)\right)$$
이다. 단,
$$\begin{align}
& a_0 = \frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)dx \\
& a_n = \frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{p}\right)dx
& b_n = \frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{p}\right)dx
\end{align}$$
이다.
선택지를 잘 살펴보면 $\sin $항은 없으므로, $\cos $항만 계산하자.
이때 정말로 다 구하는것이 아닌 $a_0, a_1$만 구한 뒤 선택지의 1~5번과 비교하자.
직접 계산하면
$$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2x^2 dx = \frac{2}{3}\pi^2$$
이고
$$a_1 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2x^2 \cos xdx = -8$$
이다. 따라서 함수 $f(x)$의 퓨리에 급수 표현은
$$f(x) = \frac{2}{3}\pi^2 - 8\cos x + \cdots$$
이 포함되어야 하고, 이는 4번뿐이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
퓨리에 사인적분을 논하고 있으므로, 함수 $f(x)$는 기함수이고, 구체적으로 구하는 적분은
$$g(a) = \int_0^\infty B(a)\sin(ax)dx$$
이다. 이때,
$$\begin{align}
B(a) &= \frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\sin axdx \\
&= \frac{2}{\pi} \int_0^2 \sin ax dx \\
&= \frac{2(1-\cos 2a)}{a\pi}
\end{align}$$
이다.
선택지에서 이 형태가 있는 선지는 2번이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
경로 $C$ 내부에서 $\sin z= 0$이 되는 $z$는 $z=0, \frac{\pi}{2}$이다.
두 점에 대해서 각각 유수를 구해보자. 이때
$$\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} + \frac{z}{6} - \cdots$$
임을 이용하자. ($\csc z$의 $z=0$에서의 로랑급수이고, 중앙대 공대 시험을 준비했다면 암기한 상태일것이다.)
$z=0$에서 :
$$\begin{align}
\frac{e^{-iz}}{\sin 2z} &\approx (1-iz)\left(\frac{1}{2z} + \frac{z}{3}\right) \\
&= \frac{1}{2z} - \cdots
\end{align}$$
이므로
$$\text{Res}_{z=0} =\frac{1}{2}$$
이다.
$\displaystyle z=\frac{\pi}{2}$에서 :
\begin{align}
\text{Res}_{z=\frac{1}{2}} &= \lim_{z\to \frac{\pi}{2}} \left(z-\frac{\pi}{2}\right) \frac{e^{-iz}}{\sin 2z} \\
&= \frac{e^{-\frac{\pi}{2}i}}{-2} \\
&= \frac{i}{2}
\end{align}
이다. 따라서 구하는 복소선적분의 값은 유수정리로부터
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\pi i\left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right) \\
&= \pi(1-i)
\end{align}$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
주어진 함수 $f(x)$를 테일러전개하면
$$f(x) \approx \left(x^2 - \frac{x^6}{6}\right) - x^2\left(1-\frac{x^4}{2}\right) + \cdots$$
이므로 $x^6$의 계수는 $\displaystyle\frac{1}{3}$이다. 따라서
$$f^{(6)}(0) =\frac{6!}{3} = 240$$
이다.
2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
구하는 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align}
L &= \int_0^1 \sqrt{1+4t^2}dt \\
&= \frac{1}{2}\int_0^2 \sqrt{1+x^2}dx \quad (2t=x) \\
&= \frac{1}{2}\int_0^a \sec^3 udu \quad (x=\tan u, \tan a = 2) \\
&= \frac{1}{4}(\sec u\tan u+\ln(\sec u+\tan u))\bigg|_0^a \\
&= \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5})
\end{align}$$
이므로, $a+b+c+d=16$이다.
마치며
이상으로 2023 서울시립대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~