[편입] 2019 명지대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2019년 명지대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 명지대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(명지대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
주어진 극한값은 $\max(2, 3) = 3$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
역함수의 미분법을 이용하면
$$(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}$$
이므로 $f'(0)=2$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
주어진 급수의 수렴반지름은 $4$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
$x = e^{\ln x}$임을 이용하면 주어진 극한값은 $e^1$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
연쇄법칙을 이용하면
$$p'(t) = f_x \times g'(t) + f_y \times h'(t)$$
이다. $t=1$을 대입하면
$$p'(1) = 2\times (-1) + 1\times 5 = 3$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
매개변수로 정의된 함수의 미분법을 이용하면
$$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{2t}$$
이고 양변을 다시 한 번 $t$로 미분하면
$$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2t^2} \times \frac{1}{2t}$$
이다. 한편 $t$의 값을 구하기 위해 연립방정식
$$\begin{cases}
t^2 + 1 = 5 \\
t^2 + t = 6
\end{cases}
$$
을 풀면 $t=2$를 얻는다. 이를 대입하면
$$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{32}$$
임을 얻는다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
부분분수 분해를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_1^2 \left(\frac{1}{3x} - \frac{10}{3(x-3)} - 1\right) dx \\
&= -1+\frac{11}{3}\ln 2
\end{align}$$
에서 $a+b=\frac{8}{3}$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
구하는 교선의 방향벡터는 주어진 두 평면의 법선벡터의 외적과 같다.
외적을 직접 계산해보면
$$(3,-2,1)\times (2,1,7) = (-15, -19, x)$$
이므로 $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{15}{19}$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
$\sqrt{x} = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\int_1^\infty \frac{1}{1+t^2}dt \\
&= 2\times \frac{\pi}{4} \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
접선벡터를 구하기 위해 $r(t)$를 미분하면
$$r'(t) = -e^{-t} r(t) + e^{-t} (-\sin t, \cos t, 0)$$
에서 $r'(0) = (-1, 1, -1)$이다.
한편 $x$축의 양의 방향과 이루는 각은 $i=(1,0,0)$과 이루는 각과 같으므로
$$\cos \theta = \frac{r'(0)\circ i}{|r'(0)| \times |i|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
구하는 넓이 $S$는 대칭성을 이용하면
$$\begin{align}
S &= 2\times \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} (4\sin \theta)^2 d\theta \\
&= 2\pi - 4
\end{align}$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
원점과 점 $P$ 사이의 거리를 $l$이라 하면
$$l = \sqrt{x^2 + 4\sin^2 (\pi x)}$$
가 성립한다. 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dl}{dt} = \frac{2x + 8\pi \sin (\pi x)\cos (\pi x)}{2\sqrt{x^2 + 4\sin^2 (\pi x)}}\times \frac{dx}{dt}$$
에서 $x=\frac{1}{3}, \frac{dx}{dt} = \sqrt{7}$을 대입하면
$$\frac{dl}{dt} = \frac{1+3\sqrt{3}}{2}\pi$$
임을 얻는다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
1. 두 벡터 $a, b-c$가 수직일 수도 있다.
2. 두 벡터 $a, b-c$가 평행일 수도 있다.
3. 외적의 성질로부터 거짓이다.
4. 크기가 같다고 같거나 방향이 반대일 필요는 없다. $(1, 0)$과 $(0, 1)$을 생각해보자.
5. 둘이 직교하므로 내적으로부터 $|a|^2 = |b|^2$이고, 크기는 양수이므로 $|a| = |b|$가 된다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
심장형곡선 $r=a(1-\cos\theta)$의 길이는 $8a$이므로 구하는 값은 $16$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
p급수 판정법으로부터
$$\ln\sqrt{a} < -1 \quad \Longrightarrow\quad 0<a<\frac{1}{e^2}$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
주어진 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
문제의 조건으로부터 $A$의 넓이 = $B$의 넓이 + $C$의 넓이이다.
한편 세 넓이를 순서대로 구해보면
$$A=\int_1^{\frac{1}{\sqrt{a}}}\left(\frac{1}{x^2} - a\right)dx = 1+a-2\sqrt{a}$$
이고
$$\begin{align} & B = a\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right) = \sqrt{a}-a \\ & C = \int_{\frac{1}{\sqrt{a}}}^9 \frac{1}{x^2}dx = \sqrt{a} - \frac{1}{9} \end{align}$$
이다. 따라서
$$1+a-2\sqrt{a} = 2\sqrt{a} - a - \frac{1}{9}$$
이고 이를 풀면 $a=\frac{1}{9}$를 얻는다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
x축으로 회전한 회전체의 부피는 정의로부터
$$V_x = \pi\int_0^2 x^2(2-x)^2dx = \frac{\pi}{30}2^5 = \frac{16}{15}\pi$$
이다.
y축으로 회전한 회전체의 부피는 파푸스의 정리로부터
$$V_y = 2\pi\times 1 \times \frac{2^3}{6} = \frac{8}{3}\pi$$
이다.
이를 정리하면
$$\frac{V_x}{V_y} = \frac{2}{5}$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{align}
8 &\geq x^2 + y^2 \\
&\geq 2|xy|
\end{align}$$
에서
$$-4\leq xy \leq 4$$
가 성립한다. 따라서
$$m=e^{-4} \leq f(x,y)\leq e^4=M$$
이므로 $\ln \frac{M}{m} = 8$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
$f(1)=-1$임을 이용하면
$$\int_{\frac{1}{2}}^1 f'(x)dx = f(1) - f\left(\frac{1}{2}\right) = 5$$
에서 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right) = -6$이다.
이제 주어진 식의 양변을 미분하면
$$\begin{align}
& g'(x) = \int_0^{\cos x} f(u)du \\
& g''(x) = -\sin x f(\cos x)
\end{align}$$
에서
$$\begin{align}
g''\left(\frac{\pi}{3}\right) &= -\frac{\sqrt{3}}{2} f\left(\frac{1}{2}\right) \\
&= 3\sqrt{3}
\end{align}$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
주어진 식을 두 번 미분하면
$$\sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3}$$
이다. 이제 $x=\frac{1}{3}$을 대입하면 구하는 값은 $\frac{27}{4}$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
주어진 식을 한 번 미분하면
$$\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$$
이다. 이제 양변에 $x$를 곱한 뒤 양변을 미분하면
$$\sum_{n=0}^\infty n^2 x^{n-1} = \frac{x+1}{(1-x)^3}$$
이다. 양변에 $x$를 곱하면
$$\sum_{n=0}^\infty n^2 x^n = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$$
이고, $x=\frac{1}{3}$을 대입하면 구하는 값은 $\frac{3}{2}$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
구하는 부피 $V$는 영역 $R : y^2 + z^2 \leq 1$에 대하여
$$\begin{align}
V &= \iint_R (1-y^2 - z^2)dA \\
&= \int_0^{2\pi}\int_0^1 r(1-r^2)drd\theta \\
&= \frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
주어진 곡선을 미분하면
$$y'=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}$$
이므로
$$\sqrt{1+(y')^2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2x}$$
이다. 따라서 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\pi\int_1^2 x\sqrt{1+(y')^2}dx \\
&= 2\pi\int_1^2 \left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\right) dx \\
&= \frac{10}{3}\pi
\end{align}$$
이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
ㄱ. 교대급수판정법으로부터 수렴하며, 절댓값을 씌웠을 때
$$\frac{\ln n}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n}}$$
이므로 발산한다. ($\ln n > 1$임을 이용한것이다.)
따라서 조건부수렴한다.
ㄴ. $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정으로부터 발산한다.
ㄷ. 분자는 $\frac{1}{3}$차식, 분모는 $\frac{3}{2}$차식이므로
$$\frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6} >1$$
에서 수렴한다.
ㄹ. 근판정법으로부터 절대수렴한다.
ㅁ. 함수 $e^{-x}$의 테일러전개를 생각해보면 절대수렴한다.
이상을 종합했을 때 $a=3, b=1, c=1$이므로 $a+b+c=3$이다.
2019 명지대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
$y+x=u, y-x=v$로 변수변환하자.
그러면 $2dydx=dudv$이고 주어진 네 점은 $uv$평면상으로 아래와 같이 변환된다.
$$\begin{align}
& (1,0) \to (1, -1) \\
& (2, 0) \to (2, -2) \\
& (0, -2) \to (-2, -2) \\
& (0, -1) \to (-1, -1)
\end{align}$$
따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{-2}^{-1} \int_{v}^{-v} \cos\left(\frac{u}{v}\right) dudv \\
&= -2\sin 1 \int_v^{-v} v dv \\
&= 3\sin 1
\end{align}$$
이다.
마치며
이상으로 2019 명지대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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