[편입] 2018 명지대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2018 명지대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2018년 명지대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{3x^2+1}}{x-3}=\sqrt{3}$$
이므로
$$\lim_{x\to\infty}\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3x^2+1}}{x-3}\right)=\tan^{-1}\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$$
이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 매개변수함수가 증가하는 구간은 
$$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2+12}{2t-6}>0$$
인 구간과 같다. 임의의 실수 $t$에 대하여 $3t^2+12>0$이므로 $2t-6>0$인 $t$의 범위를 \\ 
찾으면 되고 따라서 답은 $(3,\infty)$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$$\int_0^\infty xe^{-x}dx=\Gamma(2)=1!=1$$
이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$$\det A=a(a^2+a)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a=0, -1$$
이므로 구하는 합은 $-1$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

구하는 평행사변형의 넓이는 주어진 두 벡터에 $z$성분 $0$을 추가한 두 벡터 $$a=(1\ 3\ 0),\ b=(4\ 1\ 0)$$
의 외적의 크기와 같다. 외적을 계산하면
$$a\times b=(0\ 0\ -11)$$
이므로 구하는 크기는 $11$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$$0\leq\sqrt{4-x^2}\leq 2,\quad 0\leq \sqrt{9-y^2}\leq 3$$
이므로 $0\leq f(x,y)\leq 5$ 이다. 등호가 성립하는 지점이 존재함은 쉽게 알 수 있으므로 $a=0, b=5$이다. \\
계산을 통해 $f(2,0)=3$임을 확인할 수 있고 따라서 구하는 값은 $8$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$$\begin{align}
    &f_x=3x^2+2xy^3 \\ 
      &f_y=3x^2y^2+2y
\end{align}$$
이므로 $f_x(1,1)=5,\ f_y(1,1)=5$이다. 따라서 구하는 값은 $10$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

모든 식을 좌변으로 이항하여
$$f(x,y)=e^{xy}-x-2y = 0$$
을 생각하자. $x=0$을 대입하면 $y=\frac{1}{2}$이다. 
음함수의 미분법을 이용하면
$$\begin{align}
    \frac{dy}{dx} &= -\frac{f_x}{f_y} \\ 
    &= -\frac{ye^{xy} - 1}{xe^{xy} - 2} \\ 
    &= -\frac{1}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

지면으로부터 열기구까지의 높이를 $x$라 하자.

그러면 분속 25m으로 상승한다는 조건으로부터 $\displaystyle\frac{dx}{dt}=25$임을 안다.

 

한편 관측자가 열기구를 바라보는 시선과 지면이 이루는 각을 $\theta$라 하면

$$\tan\theta = \frac{x}{100} \quad \Longrightarrow\quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{100}\right)$$

이다. 양변을 $t$로 미분하면

$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{1+\left(\frac{x}{100}\right)^2} \times \frac{1}{100} \times \frac{dx}{dt}$$

이다. 이제 $x=50$을 대입하면

$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5}$$

임을 얻는다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$f(0)=0$이므로 
$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = f'(0)$$
이고
$$f'(x)=(\sin x+2\cos x)^2$$
이고 $f'(0)=4$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

매개변수로 정의된 함수의 미분법을 이용하면
$$\begin{align}
    \frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} \\ 
    &= \frac{\sin\theta+\cos\theta + (1+\sin\theta)\cos \theta}{\cos^2\theta-\sin \theta (1+\sin \theta)}\bigg_{\theta = \frac{\pi}{3}}
\end{align}$$

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

ㄱ.
$$a_n = \left(\frac{2n^2 + 1}{n^2 + 1}\right) \to \ln 2$$
이므로 수렴한다.
ㄴ. $e^2$으로 수렴한다.
ㄷ. $1$로 수렴한다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

$X = \frac{x-2}{3}$으로 치환하고 주어진 급수를 다시 쓰면
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}X^n$$
이고 이 급수의 수렴반경이 $-1 \leq X < 1$임을 알고있다.
이를 다시 $x$에 대해 정리하면
$$-1\leq x < 5$$
임을 얻는다.

 

 

 

2018 명지대학교편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 이중적분의 순서를 변경하면
$$\begin{align}
    \int_0^1\int_\sqrt{x}^1\frac{1}{y^3+1}dydx &=\int_0^1\int_0^y^2\frac{1}{y^3+1}dxdy \\ 
    &=\int_0^1\frac{y^2}{y^3+1}dy \\ 
    &=\frac{1}{3}\ln 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= 2\pi \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin xdx \\ 
    &= 2\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

ㄱ. 수열 $\displaystyle\frac{1}{2n+1}$은 $0$으로 수렴하는 양항 감소수열이므로 교대급수 판정법으로부터 주어진 급수는 수렴한다.
ㄴ. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{n!}=\infty $이므로 주어진 급수는 발산한다. 
ㄷ. 적분판정법으로부터 주어진 급수는 $$\int_2^\infty \frac{1}{x\ln x}dx$$
와 수렴발산 여부가 같고 위의 이상적분이 발산하므로 주어진 급수도 발산한다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 식을 $t$로 미분하면
$$f'(t) = u'(t)\circ v(t) + u(t)\circ v'(t)$$
이므로 계산을 통해 $f'(1)=5$임을 알 수 있다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

ㄱ. 영인자를 생각하면 거짓이다.
ㄴ. 행렬식의 성질에 의해 맞다.
ㄷ. 단적으로 $A=B$인 상황을 생각하면 좌변은 $(k+1)^n \det A$이고 
우변은 $(k+1)\det A$이므로 거짓이다.
ㄹ. 역행렬의 성질에 의해 맞다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

$f(x)=2\sin x\cos x - \cos x = \cos x(2\sin x - 1)= 0$을 풀면
$$x=\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$$
이다. 한편 $f(0)=f(2\pi) = -1$이므로 함수 $f(x)$가 양수인 구간은
$$\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \text{or} \frac{5\pi}{6} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} $$
이다. 이 두 구간에 대해 적분하면 후자가 적분값이 더 크므로
$b-a = \frac{3\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$f(x)$를 두 번 미분하면
$$f''(x)=\frac{2x^2 + 2(1-a)x -a-1}{(x^2 + x + 1)^2}$$
임을 얻는다. 이 때 분모는 항상 $0$보다 크므로, $f''(x) < 0$이려면 분자가 $0$보다 작아야 함을 알 수 있다.
이제 $x$에 대한 이차방정식 
$$2x^2 + 2(1-a)x -a-1 = 0$$
의 두 실근을 $\alpha, \beta\quad (\alpha < \beta)$라고 하면 근과 계수의 관계로부터
$$\begin{align}
    & \alpha + \beta = a-1 \\ 
    & \alpha\beta = -\frac{(a+1)}{2}
\end{align}$$
임을 알 수 있고, 
$$\begin{align}
    \beta - \alpha &= \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} \\ 
    &= \sqrt{a^2 + 3} \\ 
    &= 1
\end{align}$$
에서 $a^2 = 1$이므로 $a=\pm 1$이고, 따라서 최솟값은 $a=-1$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

$$f'(x)=x^2 - \frac{1}{6}x^6 + \cdots$$
이므로 양변을 적분하면
$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{42}x^7 + \cdots$$
이다. 따라서 $a_3 + a_7 = \frac{13}{42}$이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

주어진 식의 양변을 $a$로 미분하면
$$2f(2a) = e^a \quad \Longrightarrow\quad f(a) = \frac{1}{2} e^\frac{a}{2}$$
임을 얻는다. 따라서 구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \frac{\pi}{4}\int_0^1 e^x dx \\ 
    &= \frac{1}{4} (e -1 )
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

$u=x-y, v=x+y$로 변수변환하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_1^2 \int_0^1 \frac{u}{v}dudv \\ 
    &= \frac{1}{4}\int_1^2 \frac{1}{v} dv \\ 
    &= \frac{1}{4} \ln 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

사이클로이드 곡선의 길이와 넓이 (한 주기)에 대해 전부 외우고 있다. 이를 이용하면
$$\begin{align}
    & L = 8a \\ 
    & S = 3a^2 \pi
\end{align}$$
이다. 따라서 $L=S$임은 곧 $a=\frac{8}{3\pi}$임을 의미한다.

 

 

 

2018 명지대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^2 \rho^4 \sin^3 \phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= 8\times\frac{\pi}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{31}{5} \\ 
    &= \frac{248}{15}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2018년 명지대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~