[편입] 2021 건국대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2021년 건국대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 건국대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(건국대학교 입학처 - 편입학 - 자료실)
2021년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
자동차의 평균속력 $v$는
$$\begin{align}
v &= \frac{1}{2}\int_0^2 v(t)dt \\
&= \frac{e^2 + 1}{2}
\end{align}$$
이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
높이가 $h$일 때 곡면 모양의 그릇에 담긴 물의 부피 $V$는
$$V = \pi\int_0^h (\sqrt{x})^2 dx $$
이다. 이제 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dV}{dt} = \pi h \times \frac{dh}{dt}$$
가 성립하고 문제의 조건으로부터
$$\frac{dV}{dt} = 2,\quad h=9$$
이므로, 이를 전부 대입하면 $\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{2}{9\pi}$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
주어진 선분의 중심은 $(2, 2)$이고, 길이는 $2\sqrt{2}$이다.
따라서 파푸스 정리로부터 구하는 회전곡면의 겉넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\pi \times 2 \times 2\sqrt{2} \\
&= 8\pi\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
타원 위의 임의의 점 $(a, b)$에서의 접선의 방정식은
$$ax+4by = 1$$
이다. 점 $(a, b)$는 타원 위에 있으므로 $a^2 + 4b^2 = 1$이 성립하고
위의 직선이 점 $(-5, 0)$을 지나므로 $a=-\frac{1}{5}$이다.
이를 대입하여 정리하면 $b=\pm \frac{\sqrt{6}}{5}$인데, 만약 $b$가 음수라면 이 접선과
점 $B$를 지나는 접선의 교점이 제 $4$사분면에 생기게 된다.
따라서 $b=\frac{\sqrt{6}}{5}$이고, 점 $\mathrm{A}(-5, 0)$을 지나는 접선의 방정식은
$$-\frac{1}{5}x + \frac{4\sqrt{6}}{5}y = 1$$
이다. 한편 점 $B$를 지나는 접선의 방정식은 $x=1$이므로 둘의 교점의 좌표는
$\mathrm{C}\left(1, \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$이다.
따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\frac{3}{4}\sqrt{6}$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
부분적분 (곱미분의 역과정)을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= x^2 \sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \bigg|_0^1 \\
&= sin 1
\end{align}$$
이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
문제에서 주어진 첫 번째 조건을
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{1}{b_n}} = 1$$
로 해석하자. 그러면 두 수열 $a_n , b_n$은 양항수열이므로, 두 급수
$$\sum_{n=1}^\infty a_n ,\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{b_n}$$
의 수렴 발산 여부는 같다.
또, $\frac{1}{b_n}$에 대한 급수가 수렴하므로
$$\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$$
이다. 이를 바탕으로 선택지에 있는 급수들의 수렴여부를 판정하자.
1) $\displaystyle \sum a_n$의 경우 :
문제의 조건에서 $\frac{1}{b_n}$에 대한 급수가 수렴하므로
극한비교판정법으로부터 마찬가지로 수렴한다.
2) $\displaystyle \sum b_n$의 경우 :
일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.
3) $\displaystyle \sum (a_n + b_n)$의 경우 :
일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.
이상에서 $\displaystyle \sum a_n$을 제외하면 전부 발산한다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
곱셈공식
$$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$$
을 이용하자. 함수 $f(x)$의 분자와 분모에 $(x+1)$을 곱하면
$$f(x) = \frac{x^2 + x}{1+x^3}$$
인데 이상태로 급수전개하면
$$\begin{align}
f(x) &= (x^2 + x)(1 - x^3 +x^6 - \cdots) \\
&= \cdots + x^7 + x^8 + \cdots
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
& f^{(6)}(0) = 0 \\
& f^{(7)}(0) = 7! \\
& f^{(8)}(0) = 8!
\end{align}$$
이다. 즉, 구하는 값은 $7! + 8!$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
$\tan^{-1} x = a$라 하면 $\tan a = x$가 성립한다.
한편 $\sin(\tan^{-1}x) = \sin a$인데, 삼각함수의 정의로부터
$$\tan a = x \quad \Longrightarrow\quad \sin a = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$
이다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}dx \\
&= \sqrt{x^2 + 1}\bigg|_0^1 \\
&= \sqrt{2} - 1
\end{align}$$
이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
Leibniz rule(적분과 편미분의 순서교환)으로부터
$$f'(x) = 2x \sin(x^2 + x)+\int_1^{x^2} 2t\cos (x+t^2)dt$$
가 성립한다. $x=1$을 대입하면 뒤의 적분은 소거되므로 $f'(1)=2\sin 2$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
공간좌표를 이용하자. 네 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$의 좌표를
$$\begin{align}
& \mathrm{A}(a,a,0) \\
& \mathrm{B}(a,0,a) \\
& \mathrm{C}(0,a,a) \\
& \mathrm{D}(0,0,0)
\end{align}$$
이라고 하자. 그러면
$$\begin{align}
&\overline{\mathrm{AB}}=(0,-a,a) \\
&\overline{\mathrm{BC}}=(-a,a,0) \\
&\overline{\mathrm{AC}}=(-a,0,a) \\
&\overline{\mathrm{CD}}=(0,-a,-a)
\end{align}$$
가 성립하므로 구하는 값은 $a^4$이다.
한편 정사면체의 한 변의 길이가 $1$이라는 조건으로부터
$$|\overline{\mathrm{CD}}|=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다.
따라서 구하는 값은 $\frac{1}{4}$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
속도벡터와 가속도벡터가 벡터 $v=(1,1,\sqrt{2})$에 동시에 수직이므로 내적이 $0$이다.
속도벡터와 가속도벡터를 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
& r'(t) = (-\sin t, \cos t, 1) \\
& r''(t) = (-\cos t, -\sin t, 0)
\end{align}$$
에서 문제의 조건을 이용하면
$$\begin{align}
&v\circ r'(t) = -\sin t + \cos t + \sqrt{2} = 0 \\
&v \circ r''(t) = -\sin t-\cos t = 0
\end{align}$$
이다. 둘을 연립하면 $2\cos t = -\sqrt{2}$이고 이를 만족시키려면 $t=\frac{3\pi}{4}$여야 한다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
지구를 구면 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$이라고 하자.
그러면 문제의 조건에서 두 지점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 경도는 $90$도 차이가 나기 때문에
둘의 사잇각은 직각이고, 두 지점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 위도는 $30$도이므로
두 지점 모두 $xy$평면으로부터의 사잇각이 $30$도이다.
즉, 좌표로 표현하면
$$\begin{align}
& \mathrm{A} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) \\
& \mathrm{B} \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)
\end{align}$$
이라고 쓸 수 있다.
부연하자면 두 지점이 모두 지구 (반지름이 $1$인 구면) 위에 놓이므로 원점으로부터의 거리가 $1$이고,
두 지점이 모두 위도가 $30$도 이므로 $xy$평면으로부터 사잇각이 $30$도가 되도록 하고,
둘의 경도가 $90$도 차이나므로, 각각 $xz, yz$평면에 놓이게 좌표를 잡은것이다.
이제 지점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$를 지나는 대원은 원점 및 주어진 두 점을 지나는 평면과
구면 $x^2 + y^2 +z^2 = 1$의 교선이고, 이때 위도의 최대는 곧 $xy$평면과
위에서 언급한 평면의 사잇각과 같다.
둘의 사잇각을 구하기 위해 각각의 법선벡터만 알면 충분하다.
$xy$평면의 법선벡터는 $(0,0,1)$이고, 위에서 언급한 평면의 법선벡터 $n$은
$$n = \overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{OB}} = (1,1,-\sqrt{3})$$
이므로, 둘의 사잇각 $\theta$에 대하여
$$\cos\theta = \sqrt{\frac{3}{5}}$$
이다. 따라서 삼각함수의 성질로부터 $\tan\theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
직접 적분하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_0^4 (4-y)dy \\
&= 4
\end{align}$$
이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
$x^2 - y^2 = u, 2xy = v$로 변수변환하면
$$dudv = 4(x^2 + y^2)dxdy$$
가 성립한다. 한편
$$\begin{align}
\sqrt{u^2 + v^2} &= \sqrt{(x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2} \\
&= x^2 + y^2
\end{align}$$
이므로 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D \frac{4(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}dA \\
&= 4\iint_D dA \\
&= \frac{3}{4}\pi
\end{align}$$
이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
최댓값을 구하기 위해 임계점을 찾자. 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
& f_x = y-2x-2 \\
& f_y = x-2y-2
\end{align}$$
에서 $f_x = f_y = 0$인 점을 찾기 위해 연립하면 $y=x$를 얻는다.
이를 다시 $f_x = 0$ (또는 $f_y =0$)에 대입하면 점 $(-2, -2)$가 유일한 임계점이므로
구하는 최댓값은 $f(-2,-2) = 8$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
주어진 함수 $f(x,y,z)$는 이차형식으로 표현할 수 있고 그때의 대칭행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서 함수 $f(x,y,z)$의 최소는 행렬 $A$의 고유치의 최소와 같고
직접 고유치를 구해보면
$$\lambda = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1$$
이다. 따라서 최소는 $-\frac{1}{2}$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
주어진 경로는 폐곡선이므로 그린정리를 이용하자.
경로 $C$ 내부를 $D$라고 하면 그린정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D (y^2 - 1)dA \\
&= \int_0^1 \int_{y^2}^y (y^2 - 1)dxdy \\
&= \int_0^1 (y-y^2)(y^2 - 1)dy \\
&= -\frac{7}{60}
\end{align}$$
이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
구하는 값은 경로 $x^2 + y^2 =1, z=0$상에서의 선적분과 같다.
(절댓값을 물어보고 있으므로 방향은 무관하다. 즉, 양의 방향으로 계산하자.)
그런데 경로가 $xy$평면상에 평행하므로 $z$성분을 제거한 벡터장
$$F(x,y,z)=(y, z)$$
에 대해 그린정리를 적용한 뒤 $z=0$을 대입한 것을 이중적분하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (-1)dA \\
&=-\pi
\end{align}$$
이다. 따라서 절댓값은 $\pi$이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
문제에서 주어진 벡터장 $F(x,y,z) = (-y^3, x^3, -z^3)$에 대하여
$$\text{curl}F = (0, 0, 3(x^2 + y^2))$$
이다. 영역 $D$를 경로 $C$의 내부라고 할 때 스토크스정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D 3(x^2 + y^2)dA \\
&= 3\int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} r^3 drd\theta \\
&= \frac{27}{2}\pi
\end{align}$$
이다.
2021 건국대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
주어진 스칼라장을 다시 써보면
$$x^2 + y + z = (x,1,1)\circ (x,y,z)$$
이다.
그런데 벡터 $(x,y,z)$는 주어진 구면 $S$의 외향단위법선벡터이므로
구하는 스칼라장에 대한 면적분은 벡터장
$$F(x,y,z)=(x,1,1)$$
에 대한 면적분으로 바꿀 수 있다. 이제 발산정리를 이용하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iiint_B 1 dV \\
&= \frac{4}{3}\pi
\end{align}$$
이다.
마치며
이상으로 2021 건국대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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