[편입] 2022 건국대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2022년 건국대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 건국대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(건국대학교 입학처 - 편입학 - 자료실)
2022년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
두 점 사이의 거리 $d$는
$$d = \sqrt{(10t-t^2)^2 + (6t-t^2)^2}$$
이다. 이제 $d$가 최대가 되려면 루트 내부의 다항식
$$f(t) = (10t-t^2)^2 + (6t-t^2)^2$$
가 최대가 되도록 하면 된다.
최대를 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
f'(t) &= 2(10t-t^2)(10-2t) + 2(6t-t^2)(6-2t) \\
&= 8t(t^2 - 12t + 34)
\end{align}$$
에서 $f'(t) = 0$을 풀면
$$t=0,\quad t=6\pm \sqrt{2}$$
에서 주어진 범위 내에 있는 값은 $t=6-\sqrt{2}$이다.
그리고 $f'(t)$의 부호변화를 조사해보면 극대가 되며, 구간에서 최대가 된다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
지수로그의 성질로부터
$$f(x) = (2x+1)^x = e^{x\ln(2x+1)}$$
이 성립하므로, 미분하면
$$f'(x)= e^{x\ln(2x+1)}\left(\ln(2x+1) + \frac{x}{2x+1}\right)$$
이므로 $f'(1) = 2 + 3\ln 3$이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\pi\int_1^e (x+3)\frac{\ln x}{x} dx \\
&= 5\pi
\end{align}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
(이 포스팅)을 참고하면 $y=x, y=x^2$으로 둘러싸인 영역의 무게중심은
$$(\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{5}\right)$$
이다. 한편 파푸스의 정리를 이용하기 위해 무게중심과 직선 $y=x$사이의 거리를 구하면
$$l = \frac{\sqrt{2}}{20}$$
이므로 파푸스의 정리로부터 구하는 회전체의 부피는
$$V = 2\pi \times \frac{1}{6} \times \frac{\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{60}\pi$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
구하는 속력은 속도벡터의 크기와 같다.
속도벡터를 구하기 위해 위치벡터를 미분하면
$$v(t) = r'(t) = (-2\sin t-10\sin(10t), 2\cos t+10\cos (10t))$$
에서 구하는 속력은
$$\begin{align}
|v(t)| &= \sqrt{(-2\sin t-10\sin(10t))^2 + (2\cos t+10\cos (10t))^2}
\end{align}$$
에서 루트 내부의 식이 최소가 될 때 속력이 최소가 된다.
루트 내부의 식만 관찰하자. 제곱항들을 전부 전개하면
$$\begin{align}
& (-2\sin t-10\sin(10t))^2 + (2\cos t+10\cos (10t))^2 \\
&= 4 + 100 + 40(\sin t \sin 10t + \cos t\cos 10t) \\
&= 104 + 40\cos(10t - t) \\
&= 104 + 40\cos 9t
\end{align}$$
이다. 따라서 선택지의 값 중 위 식이 최소가 되는 것은 $1$번이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
두 극곡선의 교각을 구해보면
$$2=\sqrt{2\cos\theta + 3} \quad \Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5}{3}\pi$$
이다.
한편 $\theta = 0$에서 $r=\sqrt{2\cos\theta + 3}$이 원점으로부터 더 멀리 떨어져 있으므로
그래프를 그려보면 다음과 같다.
따라서 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5}{3}\pi} (2^2 - (\sqrt{2\cos\theta + 3})^2)d\theta \\
&= \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5}{3}\pi} (1 - 2\cos\theta)d\theta \\
&= \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3}
\end{align}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
매개변수로 정의된 함수의 미분법으로부터
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin t}{1-3\cos t}$$
이다. 다시 한 번 미분하면
$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{2\cos t(1-3\cos t) - 2\sin t\times 3\sin t}{(1-3\cos t)^3}$$
에서 $t=\frac{\pi}{3}$을 대입하면
$$\begin{align}
\frac{d^2 y}{dx^2}\bigg|_{t=\frac{\pi}{3}} &= \frac{-5}{-\frac{1}{8}} \\
&= 40
\end{align}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
(a) 적분판정법으로부터 발산한다.
(b) $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정법으로부터 수렴한다.
(c) $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정법으로부터 수렴한다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
주어진 급수를 다시 쓰면
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n)!}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2n}$$
과 같고, 이는 $\cosh \frac{\sqrt{3}}{2}$와 같다.
따라서 정답은 $5$번이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
주어진 함수를 급수전개하면
$$\begin{align}
&2x^2 \sqrt{3+x^2} \\
&= 2\sqrt{3}x^2 \sqrt{1+\frac{x^2}{3}} \\
&\approx 2\sqrt{3}x^2 \left(1 + \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{72} + \cdots\right) \\
&= \cdots - \frac{\sqrt{3}}{36}x^6 + \cdots
\end{align}$$
에서
$$f^{(6)}(0) = 6! \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{36}\right) = -20\sqrt{3}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
사면체의 네 꼭짓점을 $xy$평면으로 사영한 점의 좌표는 각각
$$\begin{align}
& \mathrm{A}' = (1,2,0) \\
& \mathrm{B}' = (3,2,0) \\
& \mathrm{C}' = (4,1,0) \\
& \mathrm{D}' = (2,3,0)
\end{align}$$
이다. ($z$좌표만 전부 $0$으로 바꿔준 것이다.)
이제 사영된 네 점은 아래 그림과 같이 위치한다.
이때, 정사영하여 얻은 도형은 직각삼각형이므로 그 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{A'D'}} \times \overline{\mathrm{D'C'}} \\
&= \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \\
&= 2
\end{align}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
두 점 $\mathrm{A, B}$의 좌표를 매개변수를 사용하여 나타내면
$$\begin{align}
&\mathrm{A}(t, 1-t, 0) \\
&\mathrm{B}(1,s,1)
\end{align}$$
이다.
이때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}$의 외적의 크기의 절반이다.
즉, 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= \frac{1}{2} | \overrightarrow{\mathrm{OA}} \times \overrightarrow{\mathrm{OB}} | \\
&= \frac{1}{2} |(1-t, -t, st + t - 1)| \\
&= \frac{1}{2} \sqrt{(t-1)^2 + t^2 + (st+t-1)^2}
\end{align}$$
이다. 이제 이 식이 최소가 되는 경우는 루트 내부의 식
$$f(s, t) = (t-1)^2 + t^2 + (st+t-1)^2$$
이 최소가 될 때이므로, 함수 $f(s, t)$의 임계점을 조사하자.
편도함수를 각각 구해보면
$$\begin{align}
& f_s = 2(st + t - 1) \times t \\
& f_t = 2(t-1) + 2t + 2(st + t - 1)\times (s+1)
\end{align}$$
에서 $f_s = f_t = 0$을 풀면 된다.
$f_s = 0$을 기준으로 조사하면 $t=0$이거나 $st-t+1=0$의 두 경우가 가능하다.
i) $t=0$인 경우
$f_t = 0$에 대입하면 $s=-2$를 얻는다.
즉, 이 경우의 임계점은 $(s, t) = (-2, 0)$이고
$$f(s,t) = 2$$
이다.
ii) $st+t-1=0$인 경우
$f_t = 0$에 대입하면 $f_t = 4t-2 = 0$에서 $t=\frac{1}{2}$를 얻는다.
이를 다시 $st + t - 1 = 0$에 대입하면 $s=1$을 얻는다.
즉, 이 경우의 임계점은 $(s, t) = \left(1, \frac{1}{2}\right)$이고
$$f(s,t) = \frac{1}{2}$$
이다.
한편 구하는 넓이 $S$는 $\frac{1}{2} \sqrt{f(s, t)}$로 표현되므로
위에서 구한 값 중 더 작은 값인 $f(s, t) = \frac{1}{2}$를 택하면 구하는 넓이 $S$는
$$S = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
밑면의 반지름을 $r$, 높이를 $h$라 하면 원통의 부피 $V$는
$$V = \pi r^2 h$$
이다. 한편 문제의 조건으로부터
$$\frac{dr}{dt} = 3, \quad \frac{dh}{dt} = -4$$
이다. 위 식의 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dV}{dt} = 2\pi rh \times \frac{dr}{dt} + \pi r^2 \times \frac{dh}{dt}$$
에서 위의 두 변화율의 값과, $r=h=10$을 대입하면
$$\begin{align}
\frac{dV}{dt} &= 200\pi \times 3 + 100\pi \times (-4) \\
&= 200\pi
\end{align}$$
이 구하는 원통의 부피의 변화율이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
다음 규칙을 만족하도록 공간좌표를 부여하자.
1. 점 $\mathrm{A}$는 원점이다.
2. 점 $\mathrm{A}$로부터 점 $\mathrm{B}$로의 방향이 양의 $x$축이다.
3. 점 $\mathrm{A}$로부터 점 $\mathrm{D}$로의 방향이 양의 $y$축이다.
4. 점 $\mathrm{A}$로부터 점 $\mathrm{E}$로의 방향이 양의 $z$축이다.
그러면 주어진 몇몇 점들의 좌표는 다음과 같다.
$$\begin{align}
&\mathrm{A}(0,0,0) \\
&\mathrm{B}(1,0,0) \\
&\mathrm{C}(1,1,0) \\
&\mathrm{D}(0,1,0) \\
&\mathrm{E}(0,0,2) \\
&\mathrm{G}(1,1,2)
\end{align}$$
이제 세 점 $\mathrm{B, D, G}$를 지나는 평면 $\alpha$의 식을 구하기 위해서는
법선벡터와 한 점의 좌표를 알아야 한다.
한 점의 좌표는 점 $\mathrm{B}(1,0,0)$의 좌표를 택하자.
법선벡터는 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$, $\overrightarrow{\mathrm{GB}}$의 외적과 같으므로
구하는 법선벡터 $n$은 $n=(2,2,-1)$이다. 따라서 평면 $\alpha$의 방정식은
$$\alpha : 2x+2y-z=1$$
이다.
이제 두 점 $\mathrm{X, Y}$의 좌표를 구해보자.
점 $\mathrm{X}$의 좌표를 구하기 위해 방향벡터가 $n$이고 점 $\mathrm{C}$를 지나는 직선 $l_1$은
$$l_1 (t) = (2t+1, 2t+1, -t)$$
이다. 이를 평면 $\alpha$와 연립하면 $t=-\frac{2}{9}$이므로 점 $\mathrm{X}$의 좌표는
$$\mathrm{X}\left(\frac{5}{9},\frac{5}{9},\frac{2}{9}\right)$$
이다.
$\mathrm{Y}$의 좌표를 구하기 위해 같은 과정을 점 $\mathrm{E}$에 적용하면
직선 $l_2$는
$$l_2 (t) = (2t, 2t, -t+2)$$
이고 마찬가지로 연립하면 $t=\frac{4}{9}$이므로 점 $\mathrm{Y}$의 좌표는
$$\mathrm{Y}\left(\frac{8}{9},\frac{8}{9},\frac{14}{9}\right)$$
이다.
따라서 두 점 $\mathrm{X, Y}$사이의 거리는 $\sqrt{2}$이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
주어진 도형에서 윗부분에 놓인 반원의 반지름의 길이는 $\frac{a}{2}$이다.
이를 이용하면 주어진 전체 도형의 둘레 $l$은
$$l = \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)a + 2b$$
이고, 넓이는
$$\frac{a^2}{8}\pi + ab$$
이다. 라그랑주 승수법을 이용하면 제약조건과 목표함수의 경도벡터가 평행하므로
둘을 열벡터로 하는 행렬의 행렬식이 $0$이다. 즉,
$$\det \begin{pmatrix}
1+\frac{\pi}{2} & 2 \\
\frac{a}{4}\pi+b & a
\end{pmatrix} = 0$$
이고, 식을 정리하면
$$\left(1+ \frac{\pi}{2}\right)a -\frac{a}{2}\pi - 2b = 0$$
에서 $a=2b$이다. 따라서 $\frac{a}{b} = 2$이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
적분순서를 변경하지 않고 직접 적분을 두 번 계산하자.
먼저
$$\int_{\frac{1}{x}}^1 y \sin xy dy = \frac{\sin x-x\cos x - \sin 1 + \cos 1}{x^2}$$
이 성립하므로 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
&\text{(Integral)} \\
&= \int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x-x\cos x - \sin 1 + \cos 1}{x^2} dx
\end{align}$$
와 같다. 한편
$$\left(-\frac{\sin x}{x}\right)' = \frac{\sin x-x\cos x}{x^2}$$
이 성립하므로
$$\begin{align}
&\int_{\pi}^{2\pi} \frac{\sin x-x\cos x}{x^2}dx \\
&= \left(-\frac{\sin x}{x}\right)\bigg|_{\pi}^{2\pi} \\
&= 0
\end{align}$$
이다. 또,
$$\int_{\pi}^{2\pi} \frac{-\sin 1+\cos 1}{x^2}dx = \frac{\cos 1-\sin 1}{2\pi}$$
이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 0 + \frac{\cos 1-\sin 1}{2\pi} \\
&= \frac{\cos 1-\sin 1}{2\pi}
\end{align}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
경로 $C$는 원점을 포함하지 않는 폐곡선이고, 주어진 선적분의 값이 $0$이므로
문제에서 주어진 벡터장이 보존적이어야 한다.
계산을 통해 보존적이도록 하는 $k$를 찾으면 $k=1$이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
주어진 벡터장은 보존적이고, 그 포텐셜함수는
$$f(x,y)=4xy^2 + e^x + \sin y$$
이므로, 선적분의 기본정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= (e^x + 4xy^2 + \sin y)\bigg|_{(0,0)}^{\left(1, \frac{\pi}{2}\right)} \\
&= \pi^2 + e
\end{align}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
\section{Problem 20}
주어진 반구면 $S$와 새로운 평면
$$P : z=0\quad (x^2 + y^2 \leq 1)$$
을 추가하여 얻은 새로운 폐곡면 $S'$을 생각하자.
그러면 주어진 면적분의 값은 새로운 폐곡면 $S'$에 대한 면적분 값에서
평면 $P$에 대한 면적분의 값을 뺀 것과 같다.
그런데 $\text{div}F = 0$이므로 $S'$에 대한 면적분의 값은 $0$이고, (발산정리)
평면 $P$에 대한 면적분의 값은
$$-\iint_{x^2 + y^2 \leq 1} 1 dA = -\pi$$
이다. 따라서 주어진 면적분의 값은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 0 - (-\pi) \\
&= \pi
\end{align}$$
이다.
2022 건국대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
구면 $S$의 내부를 $E$라 하자.
$$\text{div}F = 1+z+z^2$$
이므로, 발산정리로부터 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iiint_E (1+z+z^2)dV \\
&= \iiint_E (1+z^2) dV \\
&= \frac{4}{3}\pi + \frac{1}{3} \iiint_E (x^2 + y^2 + z^2)dV \\
&= \frac{4}{3}\pi + \frac{1}{3}\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
&= \frac{8}{5}\pi
\end{align}$$
이다.
마치며
이상으로 2022 건국대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
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