[편입] 2014 경기대학교 편입학 수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2014 경기대학교 편입학 수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2014년 경기대학교 편입학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 저부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경기대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(경기대학교 입학처 - 자료실 - 기출문제)

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 빠른 정답

2014 경기대 편입학 기출문제(수학) 빠른정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 26번 풀이

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n!} = x\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=xe^x$$ 이므로 $$\int_0^1\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n!}dx=\int_0^1xe^xdx=1$$ 이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 27번 풀이

 

$x=t^2$으로 치환하면 $dx=2 tdt$이므로 $$\begin{align} \text{(준 식)}&=\int_0^1\frac{2t}{t+t^2}dt \\ &=2\int_0^1\frac{1}{t+1}dt \\ &=2\ln 2=\ln 4 \end{align} $$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 28번 풀이

 

$\sqrt {n+1}$을 약분하고 유리화를 이용하면 주어진 극한은 $$\begin {align} \displaystyle\lim_{n\to 0}\frac{\sqrt{n+1}-(n+1)}{(1+2+\cdots+n)} &=\lim_{n\to 0}\frac{2(-n^2-n)}{n(n+1)(\sqrt{n+1}+n+1)} \\ &=-1 \end{align} $$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 29번 풀이

주어진 세 벡터를 행으로 갖는 행렬 $$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ x & y & z \end{matrix} \right]$$ 에 대하여 $\det A=0$이므로 사루스 법칙을 이용하면 $$\det A=x-2y+z=0\quad\Rightarrow\quad x+z=2y$$이다. 양변에 $y$를 더하면 $x+y+z=3y$이다.

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 30번 풀이

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ 가 존재하므로 수렴하는 극한의 성질을 이용하면 $$\begin{align} \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a-2h)-f(a+h)}{h} &=\lim_{h\to 0}\frac{f(a-2h)-f(a)-(f(a+h)-f(a))}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(a-2h)-f(a)}{h}-\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ &=-2\lim_{h\to 0}\frac{f(a-2h)-f(a)}{-2h}-\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ &=-3f'(a) \end {align}$$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 31번 풀이

$$f(0)=-1\quad\Longleftrightarrow\quad g(-1)=0$$

이므로 역함수의 미분법을 이용하면

$$\displaystyle g'(-1)=\frac {1}{f'(0)}=\frac {1}{2}$$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 32번 풀이

보기의 선택지 중 점 $\displaystyle\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$를 지나는 직선은 4번뿐이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 33번 풀이

$f(x)=t\cos t^2$이라고 하자. 합성함수의 미분법을 이용하면 $$F'(x)=2x f(x^2)=2x\times x^2\cos x^4 = 2x^3\cos x^4$$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 34번 풀이

사루스 법칙을 이용하면 $$\det A=3a^6-a^9-a^3-a^6=0\quad\Longleftrightarrow\quad a^3(2a^3-a^6-1)$$

이다. 따라서 $a^3 = 0$이거나 $2a^3 - a^6 - 1 = 0$이다.

그런데 $a^3 = 0$이면 $a=0$인데, 서로 다른 실수 $a$의 합을 구하는 상황에서

$a=0$을 더해도 변화가 없다. 따라서 $2a^3 - a^6 - 1=0$인 경우만 고려하자.

 

식을 정리하면 

$$2a^3 - a^6 - 1 = -(a^3 - 1)^2 = 0$$

이므로 만족하는 $a$는 $a=1$ 뿐이다. 따라서 구하는 합은 $1$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 35번 풀이

주어진 행렬 $P$는 직교행렬이므로 두 행렬 $A, B$는 직교닮음이다.

따라서 $\det A=\det B$이므로 구하는 행렬식의 값은 $-2$이다.

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 36번 풀이

끝점을 제외하면 선택지의 수렴반지름이 모두 같으므로 끝점만 조사하자.

$x=1$인 경우 :

$$\begin{align} \text{(준 식)}&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+1} \\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+1} \\ & \approx \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\end{align}$$

이므로 $p$급수 판정법으로부터 주어진 급수는 발산한다.

 

$x=3$인 경우 :

$$\begin{align} \text{(준 식)}&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+1} \\ & \approx \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{align}$$

이므로 교대급수 판정법으로부터 주어진 급수는 수렴한다.

따라서 $x=1$을 제외하고 $x=3$을 포함한 4번이 정답이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 37번 풀이

$$\begin{align} L&=\int_1^4\sqrt{1+\left\{f '(x)\right\}^2}dx \\ &=\int_1^4\left(2x+\frac{1}{8x}\right)dx \\ &=15+\frac{\ln 2}{4} \end{align}$$

이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 38번 풀이

삼각형이 정삼각형일 때 구하는 넓이가 최대가 된다. 

원의 반지름을 $r$이라고 하면 정삼각형의 밑변은 $\sqrt {3} r$이고

높이는 $\frac {3}{2} r$이므로 구하는 삼각형의 넓이는 $\frac {3\sqrt {3}}{4} r^2$이다.

 

문제의 상황에서 $r=2$이므로 삼각형의 최대 넓이는 $3\sqrt {3}$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 39번 풀이

$$f(x)=(x+1)^{(3x+2)}$$

라고 하면 $f(0)=1$이므로

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^{(3x+2)}-1}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x} \\ &=f'(0) \end{align}$$

이다. $f'(x)=f(x)(3x+2+3(x+1)\ln(x+1))$ 이므로 $f'(0)=2$이다.

따라서 구하는 값은 $2$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 40번 풀이

ㄱ. $S_1, S_2$는 모두 벡터공간 $V$의 기저이므로 $S_1, S_2$의 모든 원소는

$V$에 속하며 따라서 기저의 정의로부터 $S_1$의 모든 원소는 $S_2$의 원소들의

일차결합으로 표현가능하다. (참)

 

ㄴ. 동일한 벡터공간의 기저이므로 원소의 개수는 같다. (참)

 

ㄷ. 성립할 필요는 없다. 구체적으로 $V=\mathbb {R}^2$이라고 하고

$$\begin{align} & S_1 = \left\{ (1, 0), (1, 1)\right\} \\ & S_2 = \left\{ (0, 1), (1, 1)\right\} \end{align} $$

이라고 하면 각각은 $V$의 기저이지만, 둘의 합집합은 선형종속이므로 기저가 아니다. (거짓)

 

ㄹ. 바로 위의 반례에서 $S_1 \cap S_2 = (1, 1)$이므로 거짓이다. (거짓)

 

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 41번 풀이

ㄱ. $\det A=-1$이므로

$$\det A^2= \left(\det A\right)^2=1$$

이다. (참)

 

ㄴ. $\det A=-1$이므로

$$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}=-1$$

이다. (참)

 

ㄷ. $\det A=-1$이므로

$$\det (-A)=(-1)^n \times (-1) = (-1)^{n+1}$$

이다. 따라서 $n$이 짝수라면 주어진 행렬식은 $1$이 아니다. (거짓)

 

ㄹ. (반례) 행렬 $A$를

$$\left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right]$$

라고 하자. 그러면 $\det A=-1$이지만 $\det (A+I)=\frac {3}{2}$이다. (거짓)

이상에서 옳은 것의 개수는 $2$이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 42번 풀이

정답 : ㄹ

$\mathbb {R}$은 $\mathbb{R}^2$의 부분공간이 아니다.

마찬가지로 $\mathbb{R}^2$의 직선 중 원점을 지나지 않는 직선은 벡터공간을 이루지 않는다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 43번 풀이

주어진 접평면은 점 $(1,2,1)$을 지나고 벡터

$$(f_x,f_y,-1)_{(1,2,1)}=(2,-4,-1)$$

을 법 선벡터로 하므로 구하는 평면의 방정식은

$$2x-4y-z=-7$$

이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 44번 풀이

ㄱ. 만약 행렬 $A$가 정사각형 행렬이 아니라면 행렬의 곱셈 $AA$가 정의될 수 없다.

따라서 행렬 $A$는 정사각형행렬이다. (거짓)

 

ㄴ. 행렬 $A$를 $n$차 정사각형 행렬이라고 하자.

$A^2=-A$의 양변에 $\det$을 취하면

$$\left(\det A\right)^2=(-1)^n \det A$$

임을 얻는다. 만약 $n$이 짝수라면 $\det A=0 \text{ or } 1$이다. (거짓)

 

ㄷ. (반례) 단위행렬 $I$에 대하여 $A=-I$라고 하자.

그러면 주어진 등식이 성립하지만 영행렬이거나 단위행렬이 아니다. (거짓)

 

ㄹ. $\lambda$를 행렬 $A$의 고윳값이라고 하고, 이에 대응하는 고유벡터를 $v$라 하자. 그러면

$$ \begin{align} Av=\lambda v \quad &\Rightarrow \quad -Av=-\lambda v \\ &\Rightarrow\quad A^2v=-\lambda v\end{align}$$

이다. 한편 $A^2$의 고윳값은 $\lambda^2$이고 이에 대응하는 고유벡터는 $v$이므로

$$A^2v=\lambda ^2v$$

가 성립한다. 둘을 연립하면

$$(\lambda^2+\lambda)v=0\quad\Longleftrightarrow\quad \lambda=0, -1$$

이다. (참)

이상에서 거짓인 명제는 ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.

 

 

 

2014 경기대학교 편입학 기출문제 45번 풀이

주어진 점과 평면 사이의 거리는

$$d=\frac{\left|1+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$$

이다.

점 $P$와 직선까지의 거리가 최소가 되도록 하는 $l$위의 점 $A(1+t, t,1-t)$에 대하여

벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(t,t,1-k-t)$는 직선의 방향벡터 $(1,1,-1)$와 수직이다.

즉,

$$\begin{align}(t,t,1-k-t)\circ(1,1,-1)=0\quad\longleftrightarrow\quad t=\frac{1-k}{3}\end{align}$$

이다. 이제 점과 직선사이의 거리는 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$의 크기와 같고

$$\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{PA}}&= \left(\frac{1-k}{3}, \frac{1-k}{3}, \frac{2-2k}{3}\right) \\ &= \frac{1-k}{3}\left(1, 1, 2\right) \end{align}$$

이므로

$$|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|=\frac{|1-k|}{3}\sqrt{6}$$

이다. 이 값이 $\sqrt {2}$와 같아야 하므로

$$|1-k| = \sqrt {3}$$

이고, 이를 풀면 $$k=1\pm\sqrt{3}$$

임을 얻는다.

 

 

 

마치며

이상으로 2014년 경기대학교 편입학 기출문제 (수학) 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~