[편입] 2015 경기대학교 편입학 수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2015 경기대학교 편입학 수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2015년 경기대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경기대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(경기대학교 입학처 - 자료실 - 기출문제)

 

 

 

2015 경기대학교 편입학 기출문제 빠른 정답

2015 경기대 편입수학 기출문제 빠른정답

 

 

 

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

주어진 이상적분이 수렴하지 않음은 쉽게 알 수 있다.

따라서 정답은 4번이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

구간 $[4, 5)$에 속하는 임의의 $x$에 대하여

$$\lfloor x\rfloor=4$$

이므로

$$\lim_{x\to 4+}\frac{\lfloor x\rfloor^2-16}{x-4}=\lim_{x\to 4+}\frac{0}{x-4}=0$$

이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

$$f(x)=\begin{cases} x & (x\geq 0) \\ -x & (x\le 0) \end{cases}$$

이고 $x=0$을 제외하면 함수 $f(x)$는 미분가능하므로

$$f'(x)=\begin{cases} 1 & (x> 0) \\ -1 & (\text{Otherwise}) \end{cases}$$

이다. 이와 동일한 표현은 3번이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

구하는 회전체의 부피 $V$는

$$\begin{align}V&=\pi\int_0^\frac{\pi}{4}\tan^2xdx \\ &=\pi\int_0^\frac{\pi}{4}(\sec^2x-1)dx \\ &=\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right) \\ &=\pi-\frac{\pi^2}{4}\end{align} $$

이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

$$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = 3$$

이므로 수렴반지름은 $3$이다.

한편 $x=3$인 경우 주어진 급수는

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{(-1)^n}}$$

와 같다. 따라서 3번과 4번 중 $x=3$이 포함되어 있지 않은

3번이 정답이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 31번 풀이

주어진 행렬 $A$의 고윳값을 구하면 $\lambda=-2, 4$이다.

또, $A$는 대칭행렬이므로 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 수직이다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

 

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 32번 풀이

1. 반례 :

$$A=B=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right]$$

이라고 하면 $AB=O$이지만 $A$와 $B$모두 영행렬이 아니다. (거짓)

 

2. 행렬의 곱셈은 일반적으로는 교환법칙이 성립하지 않는다. (거짓)

 

3. 행렬 $A$의 역행렬이 존재하므로 $A^{-1}$을 $AB=O$의 왼쪽에 각각 곱하면

$$A^{-1}AB=A^{-1}O\quad\Rightarrow\quad B=O$$

이다. (참)

 

4. 주어진 식을 바꿔 쓰면 $AC-BC=(A-B) C=O$에서

$A-B=D$로 치환하면 주어진 문제를

 

$DC=O$이고 $C\neq O$이면 $D=O$이다.

 

로 바꿀 수 있는데 이는 1. 에 의해 거짓이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 3번이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 33번 풀이

$$ \det\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \end{matrix}\right] = \det\left[\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & b-1 \end{matrix}\right] = 2a-b-1\neq 0 $$

이면 되고, 보기에 있는 $a, b$를 대입해서 확인하면

만족하는 선지는 3번이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 34번 풀이

$T$가 선형변환이므로 $T(0)=0$이고 $T(cx)=cT(x)$여야 한다.

이를 만족하는 선택지는 1번뿐이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 35번 풀이

주어진 부분공간의 기저이려면 선택지의 벡터 $(x, y, z)$에 대하여

$$x+2y+3z=0$$

이 성립해야 한다.

하지만 3번의 $(3,0,1)$의 경우 위 등식이 성립하지 않으므로 3번은 기저가 될 수 없다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 36번 풀이

함수 $\sin x^3$은 원점에 대칭이므로

$$\int_{-1}^1 \sin x^3dx=0$$

이다. 따라서

$$\begin{align}\text{(준 식)}&=\int_{-1}^1 \sin^2 xdx \\ &=2\int_0^1\sin^2 xdx \\ &=\int_0^1(1-\cos 2x)dx \\ &=1-\frac{\sin 2}{2}\end{align}$$

이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 37번 풀이

로그미분법을 이용하면

$$f'(x)=x^x(1+\ln x)=f(x)(1+\ln x)$$

임을 알 수 있다. 이 식의 양변을 다시 미분하면

$$\begin{align}f''(x)&=f'(x)(1+\ln x)+f(x)\times\frac{1}{x} \\ &=x^x(1+\ln x)^2 + x^{x-1}\end{align}$$

이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 38번 풀이

$x^2=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\text{(준 식)} = \frac{1}{2}\int_0^1\frac{te^t}{(t+1)^2}dt$$

이 성립한다. 이제 $te^t$를 미분하고 $\displaystyle\frac{1}{(t+1)^2}$을 적분하는 부분적분을 하면

$$\begin{align} \frac{1}{2}\int_0^1\frac{te^t}{(t+1)^2}dt &= \frac{1}{2}\left(-\frac{te^t}{t+1}\bigg|_0^1 +\int_0^1 e^t dt \right) \\ &= \frac{1}{2}\left( -\frac{e}{2} + e-1\right) \\ &= \frac{e}{4} - \frac{1}{2} \end{align}$$

이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 39번 풀이

이중적분의 적분 순서를 변경하면

$$\begin{align}\displaystyle\int_0^2\int_{x^2 + 1}^5 xe^{(y-1)^2}dydx &= \int_1^5\int_0^{\sqrt{y-1}}xe^{(y-1)^2}dxdy \\ &=\frac{1}{2}\int_1^5 (y-1)e^{(y-1)^2}dy \\ &=\frac{e^{16}-1}{4} \end{align}$$

이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 40번 풀이

ㄱ. 주어진 이상적분은 수렴하지 않는다. (거짓)

 

ㄴ. (반례)

$$f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & (x\neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$$

이라고 하면 임의의 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $f^{(n)}(0)=0$ 이지만

$f(x)$와 그의 맥클로린 급수가 일치하는 $x$는 $x=0$뿐이다. (거짓)

 

ㄷ. $a=b$인 경우 주어진 부등식이 성립한다. 이제 일반성을 잃지 않고 $a\le b$라고 하자.

함수 $\cos x$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린 구간$(a, b)$에서 미분가능하므로

평균값정리로부터

$$-1\leq \frac{\cos b - \cos a}{b-a} = f'(c) \leq 1$$

인 실수 $c\in(a, b)$가 존재한다. 따라서 절댓값을 취하면

$$\left|\frac{\cos b - \cos a}{b-a}\right|\leq 1$$

이고 부등식의 양변에 $\left| b-a \right|$를 곱하면 원하는 결과인

$$\left|\cos b-\cos a\right|\leq \left| b-a \right|\quad\Rightarrow\quad \left|\cos a-\cos b\right|\leq \left| a-b \right|$$

를 얻는다. (참)

 

ㄹ. 도함수가 $f'(x)=0$이므로 적분하면

$$f(x)=c \quad (x\in (0, 1))$$

인데, $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right) = 1$

이므로 $c=1$이다. 즉 구간 $(0, 1)$ 에서

$$f(x)=1$$

이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 41번 풀이

구하는 행렬식은 모든 고유치의 곱인

$$\lambda_1\times\lambda_2\times\lambda_3=12$$

이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 42번 풀이

한 점 $(0, 0, 0)$을 시점으로 하고 나머지 세 점을 종점으로 하는 세 벡터에 대하여

스칼라삼중적을 계산하면

$$V=\frac{1}{6}\left|\det\left[\begin{matrix} 2 & 4 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 3 & 1 & -3 \end{matrix}\right]\right|=3$$

이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 43번 풀이

행렬 $A$가 가역행렬이라면 $A$의 기약행사다리꼴은 단위행렬이다.

즉, 가역행렬은 단위행렬과 행동치다. 즉, 정답은 1번이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 44번 풀이

닮은 행렬의 성질로부터 두 행렬 $A, B$의 행렬식과 고윳값은 같다.

하지만 고유벡터가 같을 필요는 없으므로 정답은 4번이다.

 

 

 

2015 경기대학교 편입수학 기출문제 45번 풀이

정답 : 3 (정의역과 공역이 $\mathbb{R}$이 아니다.)

 

 

 

마치며

이상으로 2015년 경기대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~