2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250528 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

문제

풀이

(가) 조건으로부터 $k=\frac{b}{2}$이고 $f\left(\frac{b}{2}\right) = 0$이므로 식을 정리하면

$$\tan \frac{b}{2} = \frac{1}{a}$$

이다.

이제 (나) 조건을 다시 써보면 방정식

$$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2f(x)$$

의 모든 해의 합을 얘기하고 있는데, $g'(x)$를 계산해보면

$$\begin{align} g'(x) &= 2e^{2x-b} \\ &= 2g(x) + 2\end{align}$$

가 성립하므로, 이를 위의 식에 대입하면

$$g(x) (2f(x) + f'(x)) = 0$$

의 모든 실근의 합이 $\frac{\pi}{4}$라는 말과 같다. 이제 경우를 나눠보면

i) $g(x) = 0$인 경우

$x=\frac{b}{2}$임을 알고있다.

ii) $2f(x) + f'(x) = 0$인 경우

직접 계산해보면

$$\tan x = \frac{2-a}{1+2a}$$

를 만족하는 실수 $x$가 근임을 알 수 있는데, 주어진 구간에서 $\tan x$가 일대일이므로

위를 만족하는 실수 $x$는 유일하다. (이를 $\alpha$라 하자.)

그러면 문제의 조건으로부터 $\alpha + \frac{b}{2} = \frac{\pi}{4}$이므로

$$\begin{align} 1 &= \tan\left(\alpha + \frac{b}{2}\right) \\ &= \frac{\tan \frac{b}{2} + \tan \alpha}{1-\tan\frac{b}{2} \tan\alpha} \\ &= \frac{\frac{1}{a} + \frac{2-a}{1+2a}}{1-\frac{1}{a}\times \frac{2-a}{1+2a}} \\ &= \frac{-a^2 + 4a + 1}{2a^2 + 2a - 2}\end{align}$$

이 성립한다.

식을 다시 정리해보면

$$2a = 3a^2 - 3$$

을 얻는데, 구하는 값을 다시 쳐다보면

$$\begin{align} \tan b &= \tan \left(2 \times \frac{b}{2}\right) \\ &= \frac{\frac{2}{a}}{1-\frac{1}{a^2}} \\ &= \frac{2a}{a^2 - 1} \\ &= \frac{3(a^2 - 1)}{a^2 - 1} \\ &= 3\end{align}$$

이 우리가 구하는 값이 된다.

$g'(x)$를 다르게 표현하는 생각을 못했다면 꽤 까다로울 수 있는 문제라고 생각합니다.

중간에 계산이 조금 더러운 편이라 계산실수 할 확률이 높기도 하구요.

블로그에서 다룬 2025학년도 5월 모의고사 문제
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