2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 풀이 (250515 풀이)

2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 풀이 (250515 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 5월 모의고사 수학 15번

 

 

 

풀이

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먼저 수열 $a_n$의 모든 항이 자연수임을 보이자. $a_n$으로 가능한 경우는 자연수 $k$에 대하여

$$a_n = \begin{cases} 3k \\ 3k+1 \\ 3k+2 \end{cases}\quad (k\in\mathrm{N})$$

뿐이므로 각각 해보자.

 

i) $a_n = 3k$인 경우

3의 배수이므로 문제에서 주어진 점화식을 이용해서 $3$으로 나눠도 당연히 자연수다.

 

ii) $a_n = 3k+1$인 경우

두 번째 점화식을 이용하면

$$\begin{align} a_{n+1} &= \frac{(a_n)^2 + 5}{3} \\ &= \frac{9k^2 +6k + 6}{3} \\ &= 3k^2 + 2k + 2 \end{align}$$

이 성립하므로 마찬가지로 자연수다.

 

iii) $a_n = 3k+2$인 경우

마찬가지로 두 번째 점화식으로부터

$$\begin{align} a_{n+1} &= \frac{(a_n)^2 + 5}{3} \\ &= \frac{9k^2 +12k + 9}{3} \\ &= 3k^2 + 4k + 3 \end{align}$$

이므로 자연수다.

 

따라서 수열 $a_n$의 모든 항은 자연수다.

 

 

 

이제 문제의 조건을 해석하면 두 자연수의 합이 $5$이므로 가능한 경우는 다음과 같다.

$$\begin{align} & a_4 = 1, a_5 = 4 \quad \text{(Case 1)} \\ & a_4 = 2, a_5 = 3 \quad \text{(Case 2)} \\ & a_4 = 3, a_5 = 2 \quad \text{(Case 3)} \\ & a_4 = 4, a_5 = 1 \quad \text{(Case 4)} \end{align}$$

 

이제 직접 점화식을 이용해보면 가능한 경우는 $a_4 = 2, a_5 = 3$인 경우 뿐임을 알 수 있다.

이제 이를 바탕으로 역추적하면 다음과 같다.

이상에서 가능한 $a_1$의 합은 $72$이다.

 

 

 

출제되는 수열 문제중에 이정도면 난이도가 꽤 쉬운 편에 속하므로

가능한 경우를 소거만 잘 했다면 무리없이 풀었을 문제라고 생각합니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 5월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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