2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250530 풀이)

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250530 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번

 

 

 

풀이

먼저

$$a_n = a\times r^{n-1}$$

라고 하고 (가) 조건을 이용하면

$$\frac{a}{1-r} = 4$$

임을 알 수 있다. 

 

또, $a_n$에 대한 급수가 수렴하므로, $a_n$의 극한값은 $0$일 것이다.

이는 곧 $|a_n| \geq \alpha$가 되도록 하는 $n$의 개수는 유한하고

무한히 많은 $n$들에 대해 $|a_n| < \alpha$가 성립한다는 말과 같다.

 

위 내용을 가지고 수열 

$$\frac{a_n}{b_n} = \begin{cases} 1 & (|a_n| < \alpha) \\ -\frac{(a_n)^2}{5} & (|a_n| \geq \alpha) \end{cases}$$

을 관찰해보면, 유한한 항들만 음수가 되며, 나머지 무한히 많은 항들은 전부 $1$이다.

 

즉, 수열 $\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}$에 대한 급수는 점점 작아지다가 (음수항을 더하는 중일 때)

1씩 계속 커지는 형태가 될 것이다. (1을 더하는 중일 때)

 

따라서 주어진 급수는 음수항을 전부 더했을 때 최소가 되므로 $p$는

$$|a_p|\geq \alpha,\quad |a_{p+1}| < \alpha$$

를 만족시키는 자연수 $p$임을 알 수 있다.

 

이제 (나)조건에 주어진 합들에 대한 조건을 사용해보면 첫 번째 합으로부터

$$\begin{align} \sum_{n=1}^p b_n &= -\frac{5}{a}\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{r} + \cdots + \frac{1}{r^{p-1}}\right) \\ &= -\frac{5}{a} \times \frac{\frac{1}{r^p} - 1}{\frac{1}{r} - 1} \\ &= 51 \end{align}$$

이 성립하고, (이를 ☆라 하자.) 두 번째 합으로부터

$$\begin{align}\sum_{n=p+1}^{\infty} b_n &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n - \sum_{n=1}^p b_n \\ &= 4 - \frac{a(r^p - 1)}{r-1} \\ &= \frac{1}{64} \end{align}$$

가 성립한다. (이를 ★라 하자.)

 

우리가 (가)조건을 통해 얻은

$$\frac{a}{1-r} = 4$$

라는 조건을 다시 써보면 $a=4(1-r)$이므로, 이를 ★에 대입하면

$$r^p = \frac{1}{256}$$

임을 얻는다. 이제 이를 전부 ☆에 대입하면

$$-\frac{5\times 255r}{4(r-1)^2} = 51$$

에서 방정식을 풀면

$$r=4, -\frac{1}{4}$$

를 얻으므로 $r=-\frac{1}{4}$이다.

 

따라서 

$$\left(-\frac{1}{4}\right)^p = \frac{1}{256}$$

에서 $p=4$이고

$$a_3= \frac{5}{16}$$

이므로, 구하는 값은

$$32\left(\frac{5}{16} + 4\right) = 138$$

이다.

 

 

 

이 문제도 2024학년도 수능 수학(미적분) 29번문제가 떠오르는 문제네요.

전체적으로 작년도 모의고사나 수능 느낌이 나는 문제가 여럿 있는것 같습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 5월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 5월 모의고사 수학 13번 
- 2025학년도 5월 모의고사 수학 14번
- 2025학년도 5월 모의고사 수학 15번
- 2025학년도 5월 모의고사 수학 22번
- 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 (현재)