2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 풀이 (250522 풀이)

2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 풀이 (250522 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 5월 모의고사 수학 22번

 

 

 

풀이

반응형

가장 먼저 조건을 보면 $f(x) \geq 0$이어야 한다.

 

또, 조건으로 $g(x)$에 대한 정보를 추려보면

i) 임의의 실수 $x$에 대하여

$$\lim_{t \to 0}g(x+t) = g(x)$$

가 성립한다.

 

ii) $g(x)$는 불연속인 지점이 존재하며, 그 지점은 $f(x)$가 극값을 갖는 지점이다.

또, $g(x)$는 연속이 되는 각 구간에서 증가한다. 바꿔 말하면

$$g(x) = \begin{cases} f(x) & (f'(x) > 0) \\ -f(x) & (f'(x) \leq 0) \end{cases} $$

가 성립한다.

 

이제 함수 $g(x)h(x)$가 $x=k$에서 연속이 되려면

 

i) $g(x)$가 $x=k$에서 연속이고 $g(k)=0$인 것

ii) $h(x)$가 $x=k$에서 연속이고 $h(k) = 0$인 것

iii) 두 함수 각각 불연속이지만 곱했을 때 정의대로 연속이 되는 것. 즉,

$$\lim_{x\to k-} g(x)h(x) = \lim_{x\to k+} g(x)h(x) = g(k)h(k)$$

인 것

 

으로 세 경우가 있다.

 

이를 바탕으로 문제를 풀어보자.

 

가장 먼저 문제의 조건을 만족시키는 사차함수 $f(x)$의 그래프를 한 개 생각해보자.

그러면 이를 바탕으로 $g(x)$는 다음과 같이 그려진다.

위의 개형에서 $g(x)$의 불연속점은 세 개이다.

 

이제 $h(x)$를 관찰해보면 $a$의 값을 조절해봤을 때

 

i) $h(x) = 0$이 되도록 하는 $x$는 많아봐야 한 개이다. ($x=-\frac{1}{2}$)

ii) $x=a$를 기점으로 절댓값은 같고 부호만 다른 지점도 많아봐야 한 개이다. 즉,

$$\lim_{x \to a-} h(x)  = - \lim_{x\to a+} h(x)$$

(또는 반대 경우) 를 만족시키는 지점은 많아봐야 한 개이다. ($x=\frac{1}{2}$)

 

그럼 우리가 위에서 알아본 함수 $g(x)h(x)$가 $x=k$에서 연속이 될 조건을 이용해봤을 때

$g(x)$의 불연속점의 개수는 $3$이지만, $h(x)$를 곱해 불연속을 제거시킬 수 있는 지점은

많아봐야 두 개이다.

 

여기서 알 수 있는 사실은

1. $g(x)=0$ (즉, $f(x)=0$)인 지점이 존재한다. 따라서 $y=f(x)$는 $x$축과 접한다. ($x=s$라 하자.)

2. $h(x)=0$ 및 $h(x+)=-h(x-)$ (또는 부호반대)가 되는 두 실수 $x$와

함수 $f(x)$가 극값을 갖는 세 실수 $x$중 $x$축에 접하는 지점을 제외한 나머지 두 개가 일치한다.

 

따라서 2번에서 $a=\frac{1}{2}$이어야 하고, 함수 $f(x)$는 $x=-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, s$에서 극값을 가진다.

또, $g(0)=\frac{40}{3} > 0$이므로, $x=0$에서 함수 $f(x)$는 증가한다.

 

이를 전부 만족하는 $f(x)$의 개형은 다음과 같다.

식을 세워보면

$$f'(x) = 16\left(x^2 - \frac{1}{4}\right)(x-s)$$

이고 적분한 뒤 $g(0)=f(0) = \frac{40}{3}$을 이용하면

$$f(x) = 4x^4 - \frac{16s}{3}x^3 - 2x^2 + 4sx + \frac{40}{3}$$

이다. 이제 $g(s) = 0$을 이용하면

$$\frac{4}{3}s^4 - 2s^2 - \frac{40}{3} = 0$$

에서 $s=\pm 2$인데 음수인 경우는 모순이므로 $s=2$이다. 결과적으로

$$f(x) = 4x^4 - \frac{32}{3}x^3 - 2x^2 + 8x + \frac{40}{3}$$

이고

$$\begin{align} &g(1) = -f(1) = -\frac{38}{3} \\ &h(3) = -9\end{align}$$

이므로, 구하는 값은

$$g(1)\times h(3) = 114$$

이다.

 

 

 

개인적으로는 이번 시험지에서 가장 어려운 문항이 이 문항 아니었나 싶습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 5월 모의고사 문제
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