2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (250629 풀이)

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (250629 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번

 

 

 

풀이

반응형

먼저 미분해보면

$$\begin{align} f'(x) &= x^2 - 2x + \frac{2x}{x^2 + 1} \\ &= \frac{x^4 - 2x^3 + x^2}{x^2 + 1} \\ &= \frac{x^2 (x-1)^2}{x^2 + 1} = 0\end{align}$$

에서 $f'(0)=f'(1)=0$이고, $f'(x) \geq 0$이므로 함수 $f$는 증가한다.

 

이를 바탕으로 $y=f(x)$의 개형을 대략적으로 그리면 다음과 같다.

$y=f(x)$의 그래프

이제, $y$의 값은 고려하지 않고 (어차피 $y$값은 $a$를 조절해서 맞춰주면 되니까) 

어떤 상황에서 미분가능하게 할 수 있는지를 먼저 확인해보자.

 

함수 $g$는 함수 $f$를 평행이동 시킨 뒤 $x$축에 대칭이동을 시킨 것을 원래의 $f$와 합쳐놓은 그래프인데

$x$축에 대칭이동 시킨것이 원래의 함수와 겹쳣을 때 미분가능해야하므로 $b=1$이다. 

($b$가 양수이므로 $0$은 될 수 없다.)

 

그럼 자연스럽게 기울기가 $0$인 지점인 $x=0$를 평행이동시켜 $x=1$에 위치시켜야 하므로 $c=1$이다.

 

기울기에 대해서는 전부 따졌으므로, 함숫값에 대해 따져보면 $x$축에 대칭시키기 전과 그 후가 일치하려면

대칭시키기 전과 후는 절댓값이 같고 부호만 다른 상황이다. 즉 $f(0) = -f(1)$이라는 뜻이다.

 

따라서 $f(0) + f(1) = 0$이어야 하므로

$$f(0)+f(1) = 0 \quad \Longrightarrow\quad a=\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\ln 2$$

이다.

 

위에서 얻은 정보를 종합하면

$$a+b+c=\frac{7}{3} - \frac{1}{2}\ln 2$$

이므로

$$30(p+q) = 55$$

이다.

 

 

 

무난한 미분가능성 문항인데요, 절댓값도 없고 적당한 수준의 평행이동 및 대칭이동만을 물어봐서

특수한 상황을 기준으로 나누면 바로 해결됩니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 6월 모의고사 문제
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