2025학년도 6월 모의고사 수학 22번 풀이 (250622 풀이)

2025학년도 6월 모의고사 수학 22번 풀이 (250622 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 6월 모의고사 수학 22번

 

 

 

풀이

반응형

역추적으로 풀 것이다. 위의 규칙을 적용하게 되는 경우는 $n$이 제곱수인 경우이고

$2$ 이상 $15$이하의 자연수 $n$ 중 제곱수는 $4, 9$이므로 $4, 5$항 및 $9, 10$항을 중점적으로

관찰하자. 

 

위 내용을 기억하며 표를 그려보면 아래와 같다.

이때 전체적으로 네 가지의 경우가 있는데, 가장 왼쪽의 숫자대로 번호를 부여하자.

 

 

 

1번 경우)

이 경우는 미지수를 소거하기 위해 연립방정식

$$\begin{cases} 2a_2 + 3a_3 - 10 = a_2 \\ 2a_3 + 3a_3 - 9 = a_3 \end{cases}$$

을 풀면 $a_3 = \frac{11}{4}$이고 이를 통해 $a_1 = -\frac{7}{4}$임을 얻는다.

구한 값을 반영하여 표를 다시 그려보면 다음과 같다.

이 경우 $a_4 > 0$, $a_9 > 0$을 만족시켜야 하는데 (위의 규칙을 적용했으므로)

직접 계산해보면 두 부등식을 전부 만족시키므로 모순이 없다. 

따라서 $a_1 = -\frac{7}{4}$은 가능한 후보 중 하나다.

 

2번 경우)

방정식

$$3a_3 - 10 = a_3$$

을 풀면 $a_3 = 5$이고 이를 통해 $a_1 = -4$임을 얻는다.

구한 값을 반영하여 표를 다시 그려보면 다음과 같다.

이 경우 $a_4 < 0$, $a_9 > 0$을 만족시켜야 하는데 (각각 아래, 위의 규칙을 적용했으므로)

$a_4 > 0$이므로 모순이다.

 

3번 경우)

방정식

$$2a_2 - 11 = a_2$$

를 풀면 $a_2 = 11$을 얻고, 따라서 $a_1 = -11$이다.

구한 값을 반영하여 표를 다시 그려보면 다음과 같다.

이 경우 $a_4 > 0$, $a_9 < 0$을 만족시켜야 하는데 (각각 위, 아래 규칙을 적용했으므로)

두 경우 모두 만족시키므로 $a_1 = -11$은 가능한 후보 중 하나다.

 

4번 경우)

직관적으로 가능함을 알 수 있고, $a_1 = 12$는 가능한 후보 중 하나다.

 

 

 

이상에서 가능한 $a_1$의 곱은

$$\left(-\frac{7}{4}\right)\times (-11)\times 12 = 231$$

이다.

 

 

 

최근에 기출된 문제인 2025학년도 5월 모의고사 수학 15번이나 2024학년도 수능 15번

문제보다는 역추적으로 접근했을 때 약간 시간이 조금 더 걸리는 편이네요.

 

개인적으로 이 자리에는 15번 문제가 오는 것이 맞지 않나 하는 생각이 드네요.

블로그에서 다룬 2025학년도 6월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 
- 2025학년도 6월 모의고사 수학 21번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학 22번 (현재)
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번