2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250628 풀이)

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250628 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번

 

 

 

풀이

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먼저 $y=f(x)$가 어떻게 생겼을지를 분석해보자.

 

$x<a$에서는 증가하는 직선의 형태가 된다는 사실을 바로 알 수 있으므로 $x\geq a$부분을 보자.

함수 $h(x)$를

$$h(x) = (x-a-2)^2 e^x$$

라고 하면

$$h'(x) = (x-a)(x-a-2)e^x$$

이므로 함수 $h(x)$는 $x=a$에서 극대가 되고, $x=a+2$에서 극솟값 $0$을 가진다.

 

이를 바탕으로 함수 $f(x)$의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

위의 그래프를 확인해보면, $g(t)$가 불연속이 되는 순간은 $y=t$가 아래 그림과 같이

함수 $f$의 극대가 되도록 그려지는 경우임을 알 수 있다.

한편 함수 $f$는 $x=a$에서 극대가 되므로

$$f(a) = 12 \quad \Longrightarrow\quad a=\ln 3$$

임을 얻는다.

 

이제 $g'(f(a+2))$와 $g'(f(a+6))$의 값을 차례대로 구할 것인데, 두 함수 $f, g$가

부분적으로 역함수 관계임을 이용하자.

 

첫 번째 값의 경우, 우리는 항상 $f(a+2) = 0$임을 알고있다. 따라서 

$$g'(f(a+2))=g'(0) = \frac{1}{e^{2a}}$$

이다. ($g(t)$가 $x<a$에서 정의된 일차함수의 역함수가 되므로 기울기의 역수가 구하는 값이 된다.)

 

비슷하게 두 번째 값을 구하면

$$g'(f(a+6)) = \frac{1}{f'(a+6)} = \frac{1}{24e^{a+6}}$$

이다. 따라서 구하는 값은

$$\frac{g'(f(a+2))}{g'(f(a+6))} = \frac{24e^6}{e^a} = 8e^6$$

이다.

 

 

 

상황 자체는 파악하기 쉬운 편이고, 부분적으로 역함수가 되는 관계를 가지는 

두 함수를 다루는 문항은 기출문제에서도 많이 다루었으므로, 무난한 문제였다고 생각합니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 6월 모의고사 문제
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