2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250630 풀이)

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250630 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번

 

 

 

풀이

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가장 먼저 $n\to\infty$일 때 $a_n \to \infty$인 것은 자명하다. 

 

또, 두 곡선 $y=\tan x$, $y=\frac{\sqrt{x}}{10}$을 동시에 그려놓고 살펴보면

$n$의 값이 커질수록 $a_n$은 $y=\tan x$의 $n$번째 점근선에 점점 가까워짐을 알 수 있다.

 

그 말은 $n$이 커지면 $a_{n+1} - a_n$의 값은 $y=\tan x$의 이웃한 두 점근선 사이의 길이와 같아진다는 말이고

따라서

$$\lim_{n\to\infty} (a_{n+1} - a_n) = \pi$$

이고, 위의 극한을 다시 쓰면

$$\lim_{n\to\infty} a_n \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1\right) = \pi$$

에서 $\infty \times 0$꼴임을 의미하므로

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1$$

이다.

 

이제 $a_n$의 정의로 돌아오면, 

$$\frac{\sqrt{a_n}}{10} = \tan a_n$$

이 성립함을 안다. 이제 덧셈정리와 위에서 얻은 사실들을 이용하면

$$\begin{align} &\lim_{n\to\infty} (a_n)^3 \tan^2 (a_{n+1} - a_n) \\ 
&= \lim_{n\to\infty} (a_n)^3 \left(\frac{\tan a_{n+1} - \tan a_n}{1+\tan a_{n+1} \tan a_n}\right)^2 \\ 
&= \lim_{n\to\infty} (a_n)^3 \left(\frac{10(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{100 + \sqrt{a_n a_{n+1}}}\right)^2 \\ 
&= 100\lim_{n\to\infty} (a_n)^3 \frac{(a_{n+1} - a_n)^2}{(100 + \sqrt{a_n a_{n+1}})^2 (\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n})^2} \\ 
&= 100\lim_{n\to\infty} \frac{(a_{n+1} - a_n)^2}{\left(\frac{100}{a_n} + \sqrt{\frac{a_n a_{n+1}}{(a_n)^2}}\right)\left(\sqrt{\frac{a_{n+1}}{a_n}} + \sqrt{1}\right)^2} \\
&= 100\times \frac{\pi^2}{1\times 2^2} \\ 
&= 25\pi^2\end{align}$$

임을 얻으므로, 구하는 극한값은 $25$이다.

 

 

 

계산이 조금 더러웠던 것 빼면 문항 자체는 평이했던 것 같습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 6월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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