2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 풀이 (250615 풀이)

2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 풀이 (250615 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 6월 모의고사 수학 15번

 

 

 

풀이

반응형

먼저 함수 $g(x)$가 미분가능하므로 $f(k)=k$, $f'(k) = 2$이다.

또, $g\left(\frac{k}{2}\right) = 0$임을 알 수 있다.

 

이제 (나)조건을 바라보면, 함수

$$|t(t-1)| + t(t-1)$$

은 $t(t-1)$이 양수라면 두 배 하고, 음수라면 $0$이 된다.

 

이 사실과 $g(x)$가 증가한다는 사실을 이용하면, $g(x)=0$이 되는 실수 $x$는 반드시

$$0\leq x \leq 1$$

에 속해야 한다. 이 말은 곧

$$0\leq k\leq 2$$

임을 의미한다.

 

두 번째 부등식을 보자. 마찬가지로 써보면 함수

$$|(t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2)$$

은 $(t-1)(t+2)$가 양수라면 $0$이 되고, 음수라면 $(-2)$배 한다.

 

그러므로 위의 함수는 $-2<t<1$에서 양수이고, 나머지에서는 $0$이므로 $g(t)$를 곱하면

함수

$$g(t)( |(t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2))$$

는 $-2<t<\frac{k}{2}$에서 음수, $\frac{k}{2}<t<1$에서 양수, 다른 지점에서 $0$이다.

 

그런데, 함수

$$h(x) = \int_3^x g(t)(|(t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2))dt$$는 항상 0이상인데, $x=3$을 대입했을 때 함숫값이 0이다. 즉 위의 함수를 미분한 함수인

$$ g(x)(|(x-1)(x+2)| - (x-1)(x+2))$$

는 항상 양이 아닌 값을 가져야 한다.

(그래야 $h(x)$가 감소하다가 0인 상태로 쭉 지속되는 개형이 그려지고, (나)조건을 만족시킬 수 있기 때문이다.)

 

이 말은 곧 $g(x)=0$인 $x$가 반드시 $1$보다 커야함을 알 수 있다.

따라서 $k\geq 2$이다.

 

이제 

$$0\leq k\leq 2,\quad k\geq 2$$

를 동시에 만족하려면 반드시 $k=2$여야 한다.

 

따라서 $f(2)=2, f'(2)=2$이므로 

$$f(x) = (x-2)^3 + a(x-2)^2 + 2(x-2) + 2$$

라고 식을 세울 수 있고, 구하는 값은 $f(k+3) = 5+a$가 된다.

 

이제 아직 쓰지 않은 조건인 $f(x)$가 $x\geq 2$에서 증가해야 한다는 조건을 써보면

$$f'(x) = 3(x-2)^2 + 2a(x-2) + 2$$

에서 부등식

$$f'(x) \geq 0\quad (x\geq 2)$$

가 성립해야 한다. 만약 $a\geq 0$이라면 할 얘기가 없으므로 $a< 0$임을 가정하자.

 

평행이동을 하여 부등식

$$3t^2 + 2at + 2 \geq 0\quad (t\geq 0)$$

을 풀면 좌변의 이차함수는 $t=-\frac{a}{3}$일 때 최소가 되므로

$$2-\frac{a^2}{3}\geq 0\quad \Longrightarrow\quad -\sqrt{6}\leq a<0$$

이다. 따라서

$$f(k+3) = 5+a \geq 5-\sqrt{6}$$

이 구하는 최솟값이 된다.

 

 

 

전체적으로 풀이하면서 2024 수능 22번 문제가 생각나는 문제였습니다.

두 부등식으로부터 $k=2$임이 확정지어지는 부분이 정말 잘 만들었다는 느낌을 받게 하네요.

이 시험지에서 가장 어려웠다고 느껴집니다. (사실 15와 22가 바뀐 것 같습니다.)

블로그에서 다룬 2025학년도 6월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 (현재) 
- 2025학년도 6월 모의고사 수학 21번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학 22번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번