2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 풀이 (250621 풀이)

2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 풀이 (250621 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 6월 모의고사 수학 21번

 

 

풀이

반응형

(가) 조건으로부터 $f'(2) = 0$임을 얻고, $x=2$가 함수 $f(x)$가 극값을 갖는 좌표중

가장 큰 (가장 오른쪽에 있는) 좌표임을 알 수 있다.

 

이제 방정식

$$f(x) = k$$

가 서로 다른 세 실근을 갖거나 서로 다른 네 실근을 가지려면 극대와 극소를 전부 가져야 한다.

 

또, 완전한 W모양의 선대칭인 사차함수의 경우 $k$의 최솟값이 존재하지 않으므로 배제해도 된다.

 

이제 다음과 같이 두 경우를 나누자.

 

i) 오른쪽 극솟값이 더 작은 경우

(나)조건으로부터 그래프는 다음과 같이 그려진다.

그런데, 가장 왼쪽의 극소점의 $x$좌표가 $x=1$이거나 극대점의 $x$좌표가 $x=1$인데

둘 중 어느 경우든 $f(0)=0$임에 모순이다. (이미 $y=\frac{8}{3}보다 위에 있으므로)

 

따라서 가능한 개형은 아래와 같은 경우이다.

인수정리로부터

$$f(x) = (x-2)^2\left(x^2 + ax - \frac{2}{3}\right) + \frac{8}{3}$$

라고 쓸 수 있고

$$f'(1) = \frac{4}{3} - a = 0$$

에서 $a=\frac{4}{3}$임을 얻는다.

 

따라서 

$$f(x) = (x-2)^2 \left(x^2  + \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}\right) + \frac{8}{3}$$

이고 $f(3)=15$이다.

 

 

 

문제 난이도는 평이한데, 개인적인 의문으로는 (나)조건에서 $x$가 실수라는 언급이 없으면

복소근까지 포함하여 집합의 원소가 중근을 갖는 상황을 제외하면 항상 $4$가 되는게 아닌가 하는

생각이 듭니다. 방정식이 아니라 $f(x)$라는 다항함수로 표현했기 때문에 정의역이 실수 집합이 되므로

상관이 없는 것일까요...?

블로그에서 다룬 2025학년도 6월 모의고사 문제
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