2024학년도 수능 수학 22번 풀이 (241122 풀이)

2024학년도 수능 수학 22번 풀이 (241122 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 수능 수학 22번

 

 

 

풀이

문제의 조건으로부터 모든 정수 $k$에 대하여 

$$f(k-1)f(k+1) \geq 0$$

이 성립해야한다. 따라서 만약 어떤 정수 $a$에 대하여 $f(a)=0$이라면, 

$$f(a+1)=0\quad \text{or}\quad f(a-1) = 0$$

이 성립해야한다. (그림을 생각하면 편하다.)

 

이제 $f(0)=0$임을 보이기 위해 경우를 나누자.

 

i) $f(0)>0$인 경우

문제의 조건을 만족시키려면 $f(-2)\geq 0$이어야 한다.

 

그런데 만약 $f(-2)=0$이라면 $f(-3)f(-1) < 0$이 되므로 모순이다.

따라서 $f(-2) > 0$이어야 한다.

 

마찬가지 과정을 반복적용하면 $f(-4) \geq 0$에서 $f(-4)>0$이어야 한다.

 

이를 계속 적용하면 임의의 자연수 $n$에 대하여

$$f(-2n)>0$$

이 성립해야 하는데, 함수 $f(x)$는 최고차항이 양수인 삼차함수이므로

$$\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty $$

이다. 즉 모순이다.

 

 

 

ii) $f(0)<0$인 경우

이번에는 $f(2) \leq 0$이어야 함으로부터 위와 같은 논리를 반복적용하면 모순이다.

 

 

 

이상에서 $f(0)=0$이어야 하며, 풀이의 첫 문단으로부터

$$f(-1)=0\quad\text{or}\quad f(1)=0$$

이다. (둘 다 $0$인 경우는 조건에 모순이다.)

 

따라서 가능한 경우는

$$\begin{align} & f(x) = x(x+1)(x-a) \\ & f(x)=x(x-1)(x-a) \end{align}$$

으로 두 가지 경우가 존재한다.

 

 

 

i) $f(x)=x(x+1)(x-a)$인 경우

조건 

$$f'\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4}$$

를 풀면 $\displaystyle a=-\frac{1}{8}$이다. 따라서 

$$f(x)=x(x+1)\left(x+\frac{1}{8}\right)$$

인데, 이는 조건 $\displaystyle f'\left(\frac{1}{4}\right) < 0$에 모순이다.

 

따라서 조건을 만족하는 함수는 두 번째 경우이고 계산을 통해 $\displaystyle a=-\frac{5}{8}$임을 알 수 있다.

즉, 

$$f(x)=x(x-1)\left(x+\frac{5}{8}\right)$$

이고 $f(8) = 483$이다.

 

 

 

개인적으로 이 시험지에서 가장 껄끄러웠던 문항이었습니다.

원래대로라면 15 22 28 30 순서로 포스팅을 하려고 했는데 잘 보이지 않아서 넘겨두고 다른 문제들을 먼저 포스팅했네요.

블로그에서 다룬 2024학년도 수능 문제
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