2024학년도 수능 수학(미적분) 29번 풀이 (241129 풀이)

2024학년도 수능 수학(미적분) 29번 풀이 (241129 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 수능 수학(미적분) 29번

 

 

 

풀이

 두 수열 $a_n, b_n$을

$$\begin{align} & a_n = a \times p^{n-1} \\ & b_n = b \times q^{n-1} \end{align}$$

이라 하자. 그러면 주어진 조건으로부터

$$\frac{ab}{1-pq} = \frac{a}{1-p} \times \frac{b}{1-q}$$

에서 식을 정리하면

$$2pq = p+q$$

이다.

 

이제 두 번째 조건으로부터

$$\frac{3|ap|}{1-p^2} = \frac{7|ap^2|}{1-|p|^3}$$

에서 식을 다시 정리하면

$$\frac{3}{1-p^2} = \frac{7|p|}{1-|p|^3}$$

이다. $p$의 부호에 따라 경우를 나누자. 

 

i) $p>0$인 경우

$$3(1+p+p^2) = 7p(1+p)$$

에서 $p=\frac{1}{2}$이다. 그런데 이는 $q = q + \frac{1}{2}$임을 의미하며 모순이다.

 

 

ii) $p<0$인 경우

$$3(1+p^3) = -7p(1-p^2)$$

에서 $p=-\frac{1}{2}$이고 $q=\frac{1}{4}$이다.

 

 

 

구하는 값은 

$$\begin{align} S &= \sum_{n=1}^\infty \left(\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} + \left(\frac{1}{4}\right)^{2n+1}\right) \\ &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} + \frac{\frac{1}{64}}{1-\frac{1}{16}} \\ &= \frac{4}{3} + \frac{1}{60} \end{align}$$

에서 $120S = 162$이다.

 

 

 

단순히 케이스를 나누어 해결했습니다.

블로그에서 다룬 2024학년도 수능 문제
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