2024학년도 수능 수학(미적분) 30번 풀이 (241130 풀이)

2024학년도 수능 수학(미적분) 30번 풀이 (241130 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 수능 수학(미적분) 30번

 

 

 

풀이

직접 적분해보면 함수 $f(x)$의 식은

$$f(x)=\begin{cases} \frac{\sin^2 x}{2} & (\sin x\geq 0) \\ -\frac{\sin^2 x}{2} & (\sin x < 0) \end{cases}$$

이다. 

 

이때, 적분상수를 고려하지 않아도 되는 이유는, 우리는 $f(x)$의 접선 $g(x)$에 대하여 함수

$$f(x) - g(x)$$

를 고려할 것인데, $g(x)$에서도 적분상수가 포함되어 빼면 둘이 소거된다.

 

그러므로 일반성을 잃지 않고 적분상수를 $0$으로 가정하여 $f(x)$의 식을 위처럼 써도 문제가 없다.

 

이를 바탕으로 함수 $f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

$y=f(x)$의 그래프

한편 함수 $h(x)$의 도함수가 $f(x) - g(x)$이다.

따라서 $h(x)$가 $x=a$에서 극값을 가지려면, 아래 그림과 같이 접선이 그 지점에서 $f$를 뚫는, 즉 변곡접선이어야 한다.

$y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프

따라서 $a_n$은 

$$f''(x)=0\quad \text{or}\quad x=k\pi$$

꼴의 $x$를 작은 수부터 순서대로 나열한 것이다. (단, $k$는 자연수)

 

따라서 

$$a_2 = \frac{3}{4}\pi,\quad a_6 = 2\pi$$

이므로

$$\frac{100}{\pi}\left(2\pi -\frac{3}{4}\pi\right) = 125$$

이다.

 

 

 

오랜만에 옛날 유형의 문제가 나온 느낌이네요. 

난이도는 해석만 제대로 했다면 크게 어렵지는 않은 것 같습니다.

블로그에서 다룬 2024학년도 수능 문제
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