2024학년도 수능 수학(미적분) 28번 풀이 (241128 풀이)

2024학년도 수능 수학(미적분) 28번 풀이 (241128 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 수능 수학(미적분) 28번

 

 

 

풀이

주어진 식에서 

$$\lim_{x\to 0-}f(x) = 0$$

이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\geq 0$이다.

따라서 함수 $f(x)$는 $x>0$에서 $0$인 상태를 유지하다가 다시 증가하는 함수일것이다.

(양수 $t$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 실근이 두 개 이므로 $x>0$에서 항등적으로 $0$인 상태일 수는 없다.)

 

한편 방정식

$$f(x) = t$$

의 두 실근이 $g(t), h(t)\quad (g(t) < 0 < h(t))$이고, $h(t)=k-2g(t)$이므로

$$f(g(t))=f(k-2g(t))$$

가 성립한다. 이때 $g(t) = u$라고 하면 $g(t) = u < 0$이므로

$$f(u) = f(k-2u)$$

인데, $u = \frac{k}{2}-\frac{x}{2}$를 대입하면

$$f(x) = f\left( \frac{k}{2}-\frac{x}{2}\right)$$

이다. 따라서 함수 $f(x)$는 $0\leq x\leq k$에서 $0$이고, 

$$f(x) = f\left(\frac{k}{2}-\frac{x}{2}\right) \quad (x>k)$$

이다. 한편 문제의 조건으로부터 

$$\begin{align*} \int_0^7 f(x) \, dx &= \int_k^7 f\left(\frac{k}{2} - \frac{x}{2}\right) \, dx \\ &= -2\int_0^{\frac{k-7}{2}} f(t) \, dt \quad \left(\frac{k-x}{2} = t\right) \\ &= e^{\left(\frac{k-1}{2}\right)^2} - 1 \\ &= e^4 - 1. \end{align*}$$

에서 $k=5$이다.

 

따라서 구하는 값은

$$\frac{f(9)}{f(8)} = \frac{f(-2)}{f\left(-\frac{3}{2}\right)} = \frac{4}{3}e^7$$

이다.

블로그에서 다룬 2024학년도 수능 문제
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