2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 풀이 (241014 풀이)

2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 풀이 (241014 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 10월 모의고사 수학 14번

 

 

 

풀이

문제에서 주어진 조건으로부터

$$f(x)=(x-2)^2 + c$$

로 둘 수 있다. 이로부터 풀이를 시작하자. 새로운 함수 $g(x)$를

$$g(x)=\int_4^x f(t)dt$$

라 하면 주어진 조건은 모든 자연수 $n$에 대하여 $g(n)\geq 0$임을 의미한다.

 

 

ㄱ. 만약 $f(2)=c>0$이면 함수 $g(x)$는 증가함수인데, $g(3)<g(4)=0$이므로

주어진 조건 $g(n)\geq 0$와 모순이다. 따라서 $f(2)<0$이다. (참)

 

 

ㄴ. 만약 함수 $g(x)$의 개형이 $g(4)=g'(4)=0$인 삼차함수의 개형이라면 ($x=4$에서 $x$축에 접하는)

$g(2)>g(3)$이다. (거짓)

 

 

ㄷ. $g(4)=0$이므로, $g(3)>0$, $g(5)>0$이면 모든 자연수 $n$에 대하여 $g(n)\geq 0$을 만족시킨다.

(개형을 생각해보자.)

 

직접 두 값을 계산해보면

$$\begin{align} & g(3) = c^2 - 4c + \frac{5}{3} \\ & g(5) = -c^2 + 4c + \frac{7}{3} \end{align}$$

에서 두 값이 전부 $0$보다 커야하므로

$$-\frac{5}{3}\leq c^2 - 4c \leq \frac{7}{3}$$

을 얻는다. 한편

$$g(6)=-2(c^2 - 4c) + \frac{32}{3}$$

이므로 위의 부등식으로부터 

$$6 \leq g(6) \leq 14$$

임을 얻는다. (참)

 

 

 

그냥 계산을 통해 풀어내었습니다.

 

가장 처음에는 그림을 통한 직관적인 해석을 시도했는데, 그렇게 접근하면 ㄱ, ㄴ, ㄷ에 대한

유기성이 떨어지는 느낌을 받아 계산을 이용하는 풀이로 선회하였습니다.