2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250930 풀이)

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250930 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번

 

 

 

풀이

직접 $F(x) - f(x)$를 구해보자. 구간을 나눠 직접 적분해보면

$$F(x) - f(x) = \begin{cases} -(2x+2k+1)e^{-x}+C & (x\leq 0) \\ (2x-2k+1)e^{-x} + C - 2 & (x>0) \end{cases}$$

이고 이 함수가 $0$이상이어야 하므로

$$\begin{align} C \geq (2x+2k+1)e^{-x} \quad &(x\leq 0) \\ C\geq 2-(2x-2k+1)e^{-x}\quad &(x>0)\end{align}$$

이 성립해야 한다.

 

이때 $C$가 공통된 형태로 들어있으므로 상수함수 $y=C$와 함수 

$$p(x)=\begin{cases} (2x+2k+1)e^{-x} & (x\leq 0) \\ 2-(2x-2k+1)e^{-x} & (x>0)\end{cases}$$

의 대소로 해석해보면 $p(x)$의 최댓값보다 $C$가 크거나 같아야 한다.

 

또, 미분을 통해 함수 $p(x)$는 $x=\frac{1}{2}+k$에서 극소, $x=\frac{1}{2}-k$에서 극대가 됨을 알 수 있다.

 

이제 문제에서 구하는 경우는 $k=\frac{1}{4}, \frac{3}{2}$의 두 경우이므로, 각각의 경우에 대해 $g(k)$의 값을 구해보자.

 

i) $k=\frac{1}{4}$

함수 $p(x)$는 $x=\frac{3}{4}$에서 극솟값을 갖고, $x=0$에서 극대(미분불가능한 극대)이며 극댓값은 $\frac{3}{2}$이다.

또, $x\to\infty$일 때 $p(x) \to 2$이고 $x\to -\infty$일 때 $p(x)\to -\infty$이므로 이를 참고하여 개형을 그려보면 아래와 같다.

$y=p(x)$의 그래프

이때 $F(0) = C-\frac{5}{4}$이고 $C$의 최솟값은 $2$이므로 $g\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$이다.

 

 

 

ii) $k=\frac{3}{2}$

함수 $p(x)$는 $x=2$에서 극소이고, $x=-1$에서 극댓값 $2e$를 갖는다. 극한값에 대한 정보는 위와 동일하므로

마찬가지로 개형을 그려보면 아래와 같다.

$y=p(x)$의 그래프

이때 $F(0)=C-\frac{5}{2}$이고 $2<2e$이므로 $C$의 최솟값은 $2e$이다. 따라서 $g\left(\frac{3}{2}\right) = 2e-\frac{5}{2}$

이다.

 

종합하면

$$g\left(\frac{1}{4}\right) + g\left(\frac{3}{2}\right) = 2e-\frac{7}{4}$$

이므로 $100(p+q)=25$이다.

 

 

 

경우를 나눈 뒤 개형을 그려 풀이했습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 9월 모의고사 문제
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