2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (250922 풀이)

2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (250922 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

풀이는 역추적과 정추적을 둘 다 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 9월 모의고사 수학 22번

 

 

 

풀이

역추적을 이용한 풀이)

먼저 $a_5 = 0$으로 쓸 수 있고, 첨자가 하나 낮아질 때 마다 $\frac{2}{3}k$를 더하거나, $-\frac{1}{k}$가 곱해지는 규칙을 통해

수열의 이전 항을 얻을 수 있다. 이를 통해 수형도를 그리면 다음과 같다.

이제 조건을 만족하는 경우 (번호가 부여된 케이스)에 대해 이어서 진행하면 아래와 같다.

이상에서 구하는 값은 $8$이다.

 

 

 

정추적을 이용한 풀이)

가장 먼저 (나)를 이용하면

$$a_{n+1} = a_n - \frac{2}{3}k$$

이거나

$$a_{n+1} = -ka_n$$

임을 알 수 있다. 이를 통해 $a_3$까지의 값을 구해보면 다음과 같다.

이제 $k>0$임을 고려했을 때 (가)를 만족시키는 경우는 네 경우 중 세 경우 뿐임을 알 수 있다.

 

이 세 경우에 대해 다시 열심히 노가다를 해서 $a_5$를 구해보면 다음과 같다.

따라서 조건을 만족시키는 $k^2$의 값의 합은

$$4+2+\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 8$$

이다.

 

 

 

풀이의 표(수형도)에는 거의 모든 경우를 나열했지만 조건을 만족하지 않는 것이 뻔히 보이는 부분은

나열하지 않는다면 훨씬 간단하게 풀이할 수 있을 것입니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 9월 모의고사 문제
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