2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (250915 풀이)

2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (250915 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 9월 모의고사 수학 15번

 

 

 

풀이

(가)에 $x=1, -1$을 대입하면 두 등식

$$\int_{-1}^1 xf(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx = 8$$

을 얻는다. 이제 주어진 식을 미분하면

$$xf(x)+xg(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$

임을 얻는다. 그런데 $f(x)=xg'(x)$이므로 이를 이용하여 식을 다시 쓰면

$$x^2g'(x) + xg(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$

가 된다. 

 

함수 $xg'(x) + g(x)$는 다항함수이고, 연속이므로 양변을 $x$로 나눠주면

$$xg'(x) + g(x) = 12x^2 + 24x - 6$$

에서 좌변이 $(xg(x))'$와 같으므로, 양변을 적분하면

$$xg(x) = 4x^3 + 12x^2 - 6x$$

임을 얻는다.

 

마찬가지로 $g(x)$는 다항함수이고, 연속이므로 양변을 $x$로 나눠주면

$$g(x) = 4x^2 +12x - 6$$

임을 얻고 마지막으로 적분해주면 구하는 값은

$$\int_0^3 g(x)dx = 72$$

이다. 

 

 

 

전체적으로 작년 9월 모의고사 22번의 향기가 나는 문제 같네요...

블로그에서 다룬 2025학년도 9월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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