2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250928 풀이)

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250928 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번

 

 

 

풀이

함수 $g(x)$의 역함수가 존재하고, $g(0)=0, g(1)=1$이므로 다음이 성립한다. (그림을 생각하자)

$$\int_0^1 g(x)dx + \int_0^1 g^{-1}(x)dx = 1$$

따라서 주어진 식을 다시 쓰면

$$2\int_0^1 f'(2x)\sin \pi xdx + \frac{1}{4} = 1-\int_0^1 g(x)dx$$

이고 $g(x)$를 대입한 뒤 식을 정리하면

$$\int_0^1 f'(2x)\sin\pi xdx = \frac{1}{12}$$

임을 얻는다.

 

이제 구하는 값에 치환적분과 부분적분을 이용한 뒤 위에서 얻은 값을 이용하면

$$\begin{align} \int_0^2 f(x)\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)dx &= \int_0^2 2f(2t)\cos\pi tdt \quad (x = 2t) \\ &= \frac{2}{\pi}f(2t)\sin\pi t \bigg|_0^1 - \frac{4}{\pi}\int_0^1 f'(2t)\sin\pi tdt \\ &= -\frac{1}{3\pi} \end{align}$$

이다.

 

 

 

계산량이 적고 발상도 어렵지 않아서 평소의 28번에 비해 쉬운 편이라고 느껴졌습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 9월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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