2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250528 풀이)

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250528 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번

 

 

 

풀이

반응형

(가) 조건으로부터 $k=\frac{b}{2}$이고 $f\left(\frac{b}{2}\right) = 0$이므로 식을 정리하면

$$\tan \frac{b}{2} = \frac{1}{a}$$

이다.

 

이제 (나) 조건을 다시 써보면 방정식

$$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2f(x)$$

의 모든 해의 합을 얘기하고 있는데, $g'(x)$를 계산해보면

$$\begin{align} g'(x) &= 2e^{2x-b} \\ &= 2g(x) + 2\end{align}$$

가 성립하므로, 이를 위의 식에 대입하면

$$g(x) (2f(x) + f'(x)) = 0$$

의 모든 실근의 합이 $\frac{\pi}{4}$라는 말과 같다. 이제 경우를 나눠보면

 

i) $g(x) = 0$인 경우

$x=\frac{b}{2}$임을 알고있다.

 

ii) $2f(x) + f'(x) = 0$인 경우

직접 계산해보면

$$\tan x = \frac{2-a}{1+2a}$$

를 만족하는 실수 $x$가 근임을 알 수 있는데, 주어진 구간에서 $\tan x$가 일대일이므로

위를 만족하는 실수 $x$는 유일하다. (이를 $\alpha$라 하자.)

 

그러면 문제의 조건으로부터 $\alpha + \frac{b}{2} = \frac{\pi}{4}$이므로

$$\begin{align} 1 &= \tan\left(\alpha + \frac{b}{2}\right) \\ &= \frac{\tan \frac{b}{2} + \tan \alpha}{1-\tan\frac{b}{2} \tan\alpha} \\ &= \frac{\frac{1}{a} + \frac{2-a}{1+2a}}{1-\frac{1}{a}\times \frac{2-a}{1+2a}} \\ &= \frac{-a^2 + 4a + 1}{2a^2 + 2a - 2}\end{align}$$

이 성립한다. 

 

식을 다시 정리해보면

$$2a = 3a^2 - 3$$

을 얻는데, 구하는 값을 다시 쳐다보면 

$$\begin{align} \tan b &= \tan \left(2 \times \frac{b}{2}\right) \\ &= \frac{\frac{2}{a}}{1-\frac{1}{a^2}} \\ &= \frac{2a}{a^2 - 1} \\ &= \frac{3(a^2 - 1)}{a^2 - 1} \\ &= 3\end{align}$$

이 우리가 구하는 값이 된다.

 

 

 

$g'(x)$를 다르게 표현하는 생각을 못했다면 꽤 까다로울 수 있는 문제라고 생각합니다.

중간에 계산이 조금 더러운 편이라 계산실수 할 확률이 높기도 하구요.

블로그에서 다룬 2025학년도 5월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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