2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 풀이 (250514 풀이)

2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 풀이 (250514 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 5월 모의고사 수학 14번

 

 

 

풀이

반응형

문제의 조건을 먼저 확인해보면 주어진 식을 만족하려면

$$f(k)=g(k)=0$$

이어야 함을 알 수 있다. 따라서 방정식

$$f(x) = 0$$

은 서로 다른 두 실근을 가져야 하고 이는 곧 $x$축과 한 점에서 만남과 동시에 중근도 가진다는 뜻이다.

 

이제 만나는 지점을 확정해야 하는데, 함수 $f(x)$를

$$f(x) = (x-a)(x-b)^2$$

라고 써보면, $x=b$에서의 접선의 $y$절편은 반드시 $0$임을 알 수 있다. (접선이 $y=0$이므로.)

 

그럼 $x=a$에서의 접선의 $y$절편이 $0$이 되도록 해야 하는데 이 경우는 $a=0$이면 됨을 알 수 있다. 

따라서

$$f(x) = x(x-p)^2 $$

이라고 쓸 수 있는데, 구하는 값이 $f(4)$이고 이 값이 $4$에 어떤 제곱수를 곱한 것이므로 선지에서

$$\left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4}$$

임을 눈치챗다면 2번이 정답일 것이라는 추측이 든다. 직접 해보자. 

 

$f(1) = 4(a-1)^2$이고, $x=1$에서 곡선 $y=f(x)$의 접선은

$$y=((a-1)^2 + 2(1-a))(x-1) + (a-1)^2$$

인데, 여기에 $x=0, y=g(1)$을 대입했을 때 등식이 성립해야 하므로

$$g(1) = 2(a-1)$$

임을 얻는다. 따라서

$$\begin{align} 4f(1)+2g(1) &= 4(a-1)^2 + 4(a-1) \\ &= -1\end{align}$$

에서 식을 정리하면

$$(2(a-1) + 1)^2 = 0$$

이므로 $a=\frac{1}{2}$이다.

 

즉, 

$$f(x) = x\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 $$

이므로 구하는 값은 $f(4) = 49$이다.

 

 

 

문제를 풀면서 든 추측대로 2번이 정답이었습니다.

특수한 상황을 최대한 배제하는 현재 기조에서 주어진 

$$|f(k)| + |g(k)| = 0$$

이라는 상황이 조금 많이 특수하다고 생각해서 지금 기조에 맞는 문제인지는 조금 의문이 드네요.

블로그에서 다룬 2025학년도 5월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 5월 모의고사 수학 13번 
- 2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 (현재)
- 2025학년도 5월 모의고사 수학 15번
- 2025학년도 5월 모의고사 수학 22번
- 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번