수학올인의 수학 기록

우함수는 항상 x=0에서 극값을 가질까? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 함수 $f(x)$가 우함수라면 항상 $x=0$에서 극값을 갖는지에 대해 알아보겠습니다. 이전에도 말했듯, 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 할 수 있는 접근은 우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해 성립하는지 테스트해 보는 것입니다. 우리가 생각할 수 있는 가장 만만한 함수는 당연히 다항함수입니다. 그럼 가장 만만한 이차함수에 대해서 먼저 확인해 볼까요? 위 그래프는 곡선 $y=x^2$의 그래프입니다. 함수 $f(x)=x^2$이 우함수인 것은 쉽게 알 수 있고, $x=0$에서 극값(극소)을 가짐도 쉽게 알 수 있네요. 그럼 다음으론, 삼각함수는 어떨지 확인해 보겠습니다. 위 그래프는 곡선 $y=\cos x$의 그래프..

함수가 극값을 가지면 그 지점에서 증감이 변할까? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 가진다면 $x=a$를 기준으로 함수 $f(x)$의 증감이 바뀌는지에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 그리고 본문에서는 상수함수는 제외하도록 하겠습니다. 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 해볼 수 있는 생각은 우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해서 먼저 생각해보는 것입니다. 우리가 가장 잘 아는 함수는 당연히 다항함수겠죠? 그중에서 극값을 가지는 건 당연히 가장 만만한 이차함수일텐데요. 이차함수의 그래프를 확인하면 극값을 가지는 지점을 전후로 함수의 증감이 바뀌는걸 확인할 수 있습니다. 그럼 다른 함수는 어떨까요? 다항함수를 빼고 극값을 갖는..