수학올인의 수학 기록

[수학] 교과내로 지수함수 다항함수 로그함수의 속도를 비교하는 방법안녕하세요. 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 고등학교 과정으로 로그함수, 다항함수, 지수함수의 속도 비교에 대해 다뤄보겠습니다. 주로 고등학교에서 미적분을 배우면 초월함수의 극한을 다룰 때 로그함수는 다항함수보다 느리다.지수함수는 다항함수보다 빠르다. 라는 말을 들어보신 적이 있으실겁니다.여기서 속도가 느린 함수, 빠른 함수의 의미는 (느린 함수)/(빠른 함수) 의 극한이 0으로 간다는 의미입니다. 저런 말을 들어본 것 뿐 아니라 문제를 풀때도 문제의 끝에 달린$$\lim_{x\to\infty} x^2 e^{-x} = 0$$같은 조건을 보신 적이 있으실 겁니다. 이 조건을 왜 주는걸까요?평가원의 오피셜 답변이 있는지는 모르겠으나, 제 생각..

[수학] 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 제목과 같이 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법에 대해 알아보겠습니다. 다항함수는 다항함수고 지수함수는 지수함수인데, 이걸 증명할 거리가 되나 하는 생각도 드실겁니다.그러나 막상 $e^x$가 다항함수가 아님을 어떻게 보일까? 하면 조금 막막하기도 하고간단한 방법이 바로 떠오르지는 않습니다. 가장 잘 알려져 있는 방법은 $n$차 다항함수라고 가정하고 극한$$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^{n+1}} =\infty$$을 이용하여 모순을 보이는 방법이 있는데요. 이걸 증명하기 위해서는 또다시 로피탈의 정리나 따로 부등식을 잡아서 위의 극한값을 정당화해야 합니다.그래서 ..

이차 이하의 다항함수를 해로 가지는 함수방정식 안녕하세요 수학올인입니다. 저번 함수방정식 포스팅에 이어 이번 포스팅도 함수방정식을 다뤄보려고 합니다. 물론 경시대회에 나오는 함수방정식 유형과는 조금 다른 함수방정식들을 다루고 있지만요. 이번 문제도 내신 문제를 질문받던 중 문제로 나왔던 함수방정식인데요, 이 함수방정식의 해가 되는 함수 $f(x)$가 이차 이하의 다항함수임을 알고 있으면 풀이 속도가 상당히 빨라지는 문제였습니다. 그럼 시작하겠습니다. 문제 다음 조건을 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오. 서로 다른 임의의 두 실수 $x, y$에 대하여 $$f'\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ 가 성립한다. 풀이 양변에 $x-y$..