수학올인의 수학 기록

[수학] 평균값 정리의 응용과 세타의 극한을 구하는 문제 (1/2)안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 평균값 정리를 응용하는 문제 중 세타의 극한을 구하는 유형에 대해 다뤄보겠습니다. 먼저 다음과 같은 문제를 보신 적 있으신가요?예제함수 $f(x) = x^3$에 대하여 $\theta (0$$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$$를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0+}\theta$의 값은? (단, $a>0, h>0$) 이런 유형의 문제는 문제집을 풀다 보면 한 번쯤 만날 수 있는 문제입니다.보통은 주어진 함수 $f(x)$에 전부 대입한 뒤 식을 $\theta$에 대해 정리하여직접 극한값을 구하는 경우가 많은데요. 사실 이 유형의 문제는 정답이 정해져있다는 ..

[수학] 도함수의 극한이 존재하면 그것은 미분계수와 같다 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 도함수의 극한과 미분계수의 관계에 대해 다룰 텐데요. 보통 참고서나 문제집 등에서 '미분계수'를 구하는 문제를 '도함수의 극한'을 구하는 것으로 대신하여 풀이하곤 하는데요. 이 과정에서 의구심이 든 적은 없으신가요? 과연 도함수의 극한과 미분계수는 같을까요?? 제목을 보셔서 아시겠지만, 연속함수 $f(x)$의 도함수인 $f'(x)$의 $x=a$로의 극한이 존재하면 이는 $f'(a)$의 값과 정확히 같습니다. 따라서 우리가 도함수 $f'(x)$를 알고 있는 상황이라면 극한값을 통해 (도함수가 연속이라면 함숫값을 통해) 바로 미분계수를 구할 수 있습니다. 그런데 이는 풀이에 자연스럽게 사용되는 ..

평균값 정리의 변형, Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 평균값 정리의 변형된 형태인 Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem)에 대해 다뤄보려고 합니다. 평균값 정리의 변형된 형태이니 당연히 기존의 평균값 정리로부터 유도가능한 내용이지만, 매번 유도해서 쓰기 번거롭기도 하고 아예 이 Flett의 평균값 정리와 동치가 되는 상황을 물어보는 문제도 있기 때문에 이런류의 문제를 많이 푸는 경우 알아둔다면 나쁠것이 없기도 하죠. Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) : 닫힌 구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a)=f'(b)$..