수학올인의 수학 기록

이차 이하의 다항함수를 해로 가지는 함수방정식 안녕하세요 수학올인입니다. 저번 함수방정식 포스팅에 이어 이번 포스팅도 함수방정식을 다뤄보려고 합니다. 물론 경시대회에 나오는 함수방정식 유형과는 조금 다른 함수방정식들을 다루고 있지만요. 이번 문제도 내신 문제를 질문받던 중 문제로 나왔던 함수방정식인데요, 이 함수방정식의 해가 되는 함수 $f(x)$가 이차 이하의 다항함수임을 알고 있으면 풀이 속도가 상당히 빨라지는 문제였습니다. 그럼 시작하겠습니다. 문제 다음 조건을 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오. 서로 다른 임의의 두 실수 $x, y$에 대하여 $$f'\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ 가 성립한다. 풀이 양변에 $x-y$..

함수방정식 f'(x)=(f(x+n)-f(x))/n의 풀이 방법 안녕하세요 수학올인입니다. 최근 질문받은 내신 문제 중 흥미로운 문제가 있어 글을 쓰게 되었는데요. 이번 글에서는 제목과 같이 함수방정식 $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ 의 풀이 방법과 그 해에 대해서 다뤄보겠습니다. 문제 모든 실수 $x$와 모든 자연수 $n$에 대하여 $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ 를 만족시키는 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오. 풀이 주어진 식에 $n=1$을 대입하면 모든 실수 $x$에 대하여 $$f'(x)=f(x+1)-f(x)$$ 를 얻는다. 함수 $f(x)$가 미분가능하므로, 함수 $f'(x)$도 미분가능하다. 양변을 미분하면 $$f'..