수학올인의 수학 기록

2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (250922 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다. 풀이는 역추적과 정추적을 둘 다 다뤄보겠습니다.   문제   풀이역추적을 이용한 풀이)먼저 $a_5 = 0$으로 쓸 수 있고, 첨자가 하나 낮아질 때 마다 $\frac{2}{3}k$를 더하거나, $-\frac{1}{k}$가 곱해지는 규칙을 통해수열의 이전 항을 얻을 수 있다. 이를 통해 수형도를 그리면 다음과 같다.이제 조건을 만족하는 경우 (번호가 부여된 케이스)에 대해 이어서 진행하면 아래와 같다.이상에서 구하는 값은 $8$이다.   정추적을 이용한 풀이)가장 먼저 (나)를 이용하면$$a_{n+1} = a_n - \frac{2}..

2024학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (240922 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 저번 포스팅인 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번에 이어서 22번을 풀어보겠습니다. 문제 풀이 조건 (가)에 $x=1$을 대입하면 $f(1)=3$을 얻는다. 이제 (가)의 양변을 미분하면 $$f(x)=f(x)+xf'(x)-4x\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=4x$$ 이므로, $f(x)=4x-1$을 얻는다. 한편 $F'(x)=f(x)$, $G'(x)=g(x)$이므로 조건 (나)를 다시 쓰면 $$(F(x)G(x))' = 8x^3 + 3x^2 + 1$$ 이다. 이 식의 양변을 적분하면 $$F(x)G(x)=2x^4 + x^3 + x + k$$ 를 얻는다. (단, $k$는..