수학올인의 수학 기록

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250928 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $g(x)$의 역함수가 존재하고, $g(0)=0, g(1)=1$이므로 다음이 성립한다. (그림을 생각하자)$$\int_0^1 g(x)dx + \int_0^1 g^{-1}(x)dx = 1$$따라서 주어진 식을 다시 쓰면$$2\int_0^1 f'(2x)\sin \pi xdx + \frac{1}{4} = 1-\int_0^1 g(x)dx$$이고 $g(x)$를 대입한 뒤 식을 정리하면$$\int_0^1 f'(2x)\sin\pi xdx = \frac{1}{12}$$임을 얻는다. 이제 구하는 값에 치환..

2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번 풀이 (240928 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 함수 $f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다. 이때, $x0$에서의 주기의 절반의 적분값은 $\frac{2}{a}$이다. 이를 구하는 이유는 적분을 했을 때 도함수의 부호 있는 넓이를 원함수의 함숫값의 차로 해석할 수 있기 때문이다. (미적분학의 기본정리) 새로운 함수 $$h(x)= \int_{-a\pi}^x f(t)dt$$ 의 그래프를 그리면 아래와 같다. 이때 $g(x)=|h(x)|$이므로 $g(-a\pi)=h(-a\pi)=0$임을 안다. 그런데 함수 $g(x)$는 미분가능하므로, $$h'(-a\pi)=..