[편입] 2021 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2021년 경희대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경희대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(경희대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2021년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
두 극한값을 각각 계산하자.
$$\lim_{x\to 0} 2x\cot(3x) = \frac{2}{3}$$
이고,
$$\begin{align}
\lim_{x\to 5} \frac{4\sin(x-5)}{3x^2 - 18x + 15} &= \lim_{x\to 5} \frac{4\sin(x-5)}{3(x-1)(x-5)} \\
&= \lim_{x\to 5} \frac{4\sin(x-5)}{(x-5)} \times \frac{1}{3(x-1)} \\
&= 4\times \frac{1}{12} \\
&= \frac{1}{3}
\end{align}$$
에서 둘의 합 $1$이 구하는 극한값이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
$x\geq 0$에서 분모가 $0$이 되는 $x$는 $1$이다. 따라서 $\alpha = 1$이다.
그리고
$$\beta = \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2}{x^2 - 1} = 3$$
이므로, $\alpha -\beta = -2$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
중심이 $-2$인 테일러급수에서 $(x+2)^2$의 계수는 $\frac{f''(-2)}{2!}$이다.
함수 $f(x)$를 두 번 미분하면
$$f''(x) = \frac{6}{x^3}$$
이므로 $f''(-2) = -\frac{3}{4}$이다. 따라서 구하는 값은 $-\frac{3}{8}$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
1. 반례 : $\frac{1}{n}$.
2. $p\geq 1$이 아닌 $p>1$이어야 한다.
3. 함수 $f(x) = x^3 + x - 1$은 증가함수이므로 단 한개의 실근을 갖는다.
(실근의 존재성은 $x$가 무한히 커지거나 작아진다면 $f(x)$의 값 또한 무한히 커지거나 작아지기 때문에 보장된다.)
4. 그럴 필요는 없다.
5. 발산한다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
주어진 포물선을 매개화하면
$$r(t) = (2t, t^2 + 4, 0)$$
이고, 주어진 점 $(0, 2)$는 $t=0$일 때이다.
접촉원의 반지름은 곡률의 역수이므로, 곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
& r'(t) = (2, 2t, 0) \\
& r''(t) = (0, 2, 0)
\end{align}$$
에서, $t=0$에서의 곡률은
$$\kappa = \frac{|r'(0) \times r''(0)|}{|r'(0)|^3} = \frac{1}{2}$$
이다. 따라서 접촉원의 반지름은 $2$이다.
한편 주어진 포물선은 아래로 볼록하고, $y$축에 대칭이다.
이를 고려했을 때 접촉원은 중심이 $(0, 4)$이다.
(접촉원 또한 $y$축에 대칭이어야 하고, 원의 중심과 포물선의 꼭짓점의 거리가 $2$이기 때문이다.)
따라서 접촉원의 방정식은
$$x^2 + (y-4)^2 = 4$$
에서 식을 전개한 뒤 정리하면
$$x^2 + y^2 - 8y + 12 = 0$$
에서 $a=0, b=-8, c=12$이고 $a+b+c=4$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
영역의 내부와 경계로 나누어 조사하자.
영역의 내부에서)
주어진 함수의 임계점을 조사하면
$$\begin{align}
& f_x = 4x-8 = 0 \\
& f_y = 6y = 0
\end{align}$$
에서 임계점은 $(2, 0)$이고 (경계에 걸쳐있다.) $f(2, 0) = -13$이다.
영역의 경계에서)
경계를 아래 그림과 같이 세 부분으로 나누자.
1번 경로)
$$f(x,0) = 2(x-2)^2 - 13 \quad (0\leq x\leq 5)$$
이므로 최소는 $-13$, 최대는 $5$이다.
2번 경로)
$$f(0, y) = 3y^2 - 5 \quad (0\leq y\leq 5)$$
이므로 최소는 $-5$, 최대는 $70$이다.
3번 경로)
$y^2 = 25-x^2$임을 이용하면 주어진 경로에서
$$f(x,y) = 70-x^2 -8x \quad (0\leq x\leq 5)$$
이므로 최소는 $5$, 최대는 $70$이다.
이상의 결과를 종합하면 최소는 $-13$, 최대는 $70$이므로 $\alpha + 6\beta = -8$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
정적분과 급수의 관계를 이용하면 주어진 극한값은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{8n}{n^2 + k^2} \\
&= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{8}{n} \times \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} \\
&= 8\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx \\
&= 2\pi
\end{align}$$
이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
계산을 통해 $f_{xy}(0,0)=-1, f_{yx}(0,0) = 1$임을 알 수 있다.
따라서 구하는 값은 $2$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi \int_0^2 2(x+2)\sqrt{x} dx \\
&= \frac{256\sqrt{2}}{15}\pi
\end{align}$$
이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
[풀이 1]
$f(x,y,z)=k$라고 하면 곡면 $f(x,y,z)=k$의 기하학적 의미는
공간상에서 중심이 $(1,3,5)$이고 반지름이 $\sqrt{k}$인 구면이다.
이때 $k$의 값을 $0$에서부터 점차 늘려갈 것인데, $k$가 최소가 되는 상황은
아래 그림과 같이 주어진 평면과 접하는 상황 (빨간색) 이다.
따라서 위 상황에서 주어진 평면의 법선벡터를 방향벡터로 하고, 구의 중심을 지나는 직선이
평면과 만나는 점이 구하는 점 $(a,b,c)$가 된다. (아래 그림 참고)
최소가 되는 점을 구하기 위해 직선의 방정식을 직접 구해보면
$$l(t) = (t+1, -t+3, t+5)$$
이다.
이때 $l(t)$를 평면의 방정식에 대입하여 $t$를 구한 뒤 $a, b, c$를 구해도 된다.
하지만 잘 생각해보면, 최소가 되는 $a, b$도 결국 어떤 실수 $t$에 대하여
$$a=t+1, b=-t+3$$
의 형태로 표현될것이다. 이때 둘을 더해보면 $t$의 값에 관계없이
$$a+b=(t+1)+(3-t) = 4$$
이다. 이 풀이처럼 $t$가 소거되는 경우 눈치껏 계산을 줄일 수 있다.
[풀이 2]
일반적인 최대최소를 구할 때의 방법을 사용한다. (라그랑주 승수법 등등)
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
주어진 급수는 중심이 $x=\frac{1}{5}$이고 수렴반지름이 $\frac{3}{5}$인 급수이다.
따라서 끝점만 따졋을 때 가능한 선택지는 3번 또는 4번이다.
3번과 4번의 차이는 $x=\frac{4}{5}$에서 수렴하는지 발산하는지이므로, 이 지점에서 판정하자.
대입하면 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$$
이므로 교대급수판정법으로부터 수렴한다.
따라서 정답은 4번이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{\sqrt{\pi}}\int_0^x \cos(2x^2) dydx \\
&= \int_0^{\sqrt{\pi}}x\cos(2x^2)dx \\
&= \frac{1}{4}\sin(2\pi) \\
&= 0
\end{align}$$
이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
$4x = u, 3y = v$로 변수변환하면 $12dxdy = dudv$이다.
한편 위의 변수변환으로부터 주어진 영역 $R$은 새로운 영역
$$D : u\geq 0, v\geq 0, u^2 + v^2 \leq 1$$
로 변환되므로, 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} & =\frac{1}{12} \iint_D \sin(u^2 + v^2) dudv \\
&= \frac{1}{12}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1 r\sin r^2 drd\theta \\
&= \frac{1-\cos 1}{48}\pi
\end{align}$$
이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
영역의 내부와 경계로 나누어 조사하자.
영역의 내부에서)
주어진 함수의 임계점을 조사하면
$$\begin{align}
& f_x = y-2 = 0 \\
& f_y = x-2 = 0
\end{align}$$
에서 임계점은 $(2, 2)$이고 (경계에 걸쳐있다.) $f(2,2) = 2$이다.
영역의 경계에서)
경계를 아래 그림과 같이 세 부분으로 나누자.
1번 경로)
$$f(x,0) = 6-2x \quad (1\leq x\leq 4)$$
이므로 최소는 $-2$, 최대는 $4$이다.
2번 경로)
$$f(1, y) = 4-y \quad (0 \leq y \leq 3)$$
이므로 최소는 $1$, 최대는 $4$이다.
3번 경로)
$y=4-x$임을 이용하면
$$f(x,4-x) = -x^2 + 4x -2 \quad (1\leq x\leq 4)$$
이므로 최소는 $-2$, 최대는 $2$이다.
이상의 결과를 종합하면 최대는 $4$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
주어진 미분방정식은
$$\begin{align}
& \frac{\partial}{\partial y}(y^3 \cos x - y\sin x) = 3y^2 \cos x - \sin x \\
& \frac{\partial}{\partial x}(3y^2\sin x+\cos x) = 3y^2 \cos x - \sin x
\end{align}$$
이므로 완전미분방정식이다. 적분하면
$$y^3 \sin x + y\cos x = C = 1$$
이 미분방정식의 해이고, $x=\frac{\pi}{2}$를 대입하면
$$y^3 = 1$$
이므로, $\left(y\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)^3 = 1$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
주어진 두 식을 더하면
$$y_1 ' + y_2 ' = 3(y_1 + y_2)$$
이다. 이제 $u = y_1 + y_2$라 하면
$$u' = 3u,\quad u(0)=4$$
일 때 $u(1)$의 값을 구하는 문제로 바뀌게 된다. 위 미분방정식을 풀면
$$u = 4e^{3x}$$
이므로, $u(1) = 4e^3$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
주어진 미분방정식은 일계 선형 미분방정식이다. 공식으로부터
$$\begin{align}
y &= e^{-\sqrt{x^2 + 1}}\left(\int 2xdx + C\right) \\
&= e^{-\sqrt{x^2 + 1}}(x^2 + C) \\
&= x^2 e^{-\sqrt{x^2 + 1}}
\end{align}$$
이다. 따라서 $y(\sqrt{3}) = \frac{3}{e^2}$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
함수 $y(t)$의 라플라스변환을 $Y$라 하자. 양변을 라플라스변환하면
$$sY - 2 = \frac{1}{s} - \frac{2Y}{s}$$
에서 식을 정리하면
$$Y = \frac{1}{s^2 + 2} + \frac{2s}{s^2 + 2}$$
이고, 양변을 역변환하면
$$y(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\sin (\sqrt{2}t) + 2\cos(\sqrt{2}t)$$
이므로, $y\left(\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
주어진 미분방정식의 보조방정식은
$$r^3 + (a-3)r^2 + (2-a+b)r + c = 0$$
이다. 한편 미분방정식의 일반해가 주어져있고, 이로부터 보조방정식의 해가
$$r=2, 2\pm \sqrt{3}i$$
임을 알 수 있다. 따라서 삼차방정식의 근과 계수의 관계로부터
$$a=-3, b=10, c=-14$$
이고 구하는 값은 $1$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
부분분수 분해를 이용하면
$$\begin{align}
\frac{32}{s^8 - 16s^4} &= -2\left(\frac{1}{s^4} - \frac{1}{s^4 - 16}\right) \\
&= -2\left(\frac{1}{s^4} - \frac{1}{8}\left(\frac{1}{s^2 - 4} - \frac{1}{s^2 + 4}\right)\right) \\
&= -\frac{2}{s^4} +\frac{1}{4}\times \frac{1}{s^2 - 4} -\frac{1}{4}\times \frac{1}{s^2 + 4}
\end{align}$$
이다. 따라서 라플라스역변환하면
$$-\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{8} \sinh 2t - \frac{1}{8} \sin 2t$$
이므로 구하는 값은 $-1$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
역연산자와 소멸연산자를 이용하자. 주어진 미분방정식의 특수해는
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{(D-4)^2} \left\{12xe^{4x}\right\} \\
&= e^{4x} \frac{1}{D^2} \left\{12x\right\} \\
&= 2x^3 e^{4x}
\end{align}$$
이다. 이로부터 제차해에 대한 미분방정식
$$y''-8y'+16y = 0,\quad y_c(0) = 0, y_c '(0) = 1$$
을 얻을 수 있다.
제차해에 대한 미분방정식은 라플라스변환으로 해결하자.
$y_c$의 라플라스변환을 $Y$라 하면
$$Y = \frac{1}{(s-4)^2}$$
에서
$$y_c = xe^{4x}$$
이므로, 주어진 미분방정식의 해는
$$y=y_c + y_p = xe^{4x} + 2x^3 e^{4x}$$
이다. 따라서 $y(1) = 3e^4$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
라플라스변환을 이용하자. 함수
$$F(s) = \int_0^\infty te^{-st} \sin 3t dt $$
를 생각하면 구하는 값은 $F(1)$이다.
한편 $F(s)$는 함수 $f(t)=t\sin 3t$의 라플라스변환이므로
$$F(s) = \frac{6s}{(s^2 + 9)^2}$$
이고, $F(1) = 0.06$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
문제의 조건을 해석하면 두 점을 각각 시점과 종점으로 하는 벡터와
주어진 세 점을 지나는 평면의 법선벡터가 평행하다는 것이다.
두 점을 시점과 종점으로 하는 벡터 $v$는
$$v = (a-3, -1, b-4)$$
이고, 평면의 법선벡터 $n$은
$$\begin{align}
n &= (1,2,1) \times (5,4,3) \\
&= (2,2,-6)
\end{align}$$
이다.
이제 두 벡터가 평행하다는 조건을 사용하면
$$a=2, b=7$$
이므로 구하는 값은 $5$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
주어진 연립방정식을 첨가행렬로 나타내면
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & a^2 \\
1 & 2 & 3 & a^4 \\
3 & 5 & 7 & 3
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 기본행연산을 통해 행사다리꼴로 만들어주면
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & a^2 \\
0 & 1 & 2 & a^4 - a^2 \\
0 & 0 & 0 & (a^2 - 1)(2a^3 + 3)
\end{pmatrix}$$
에서 해가 만족하도록 정수 $a$는 $a=\pm 1$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
$T$의 표준행렬의 모든 성분의 합은
$$T\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
의 모든 성분의 합과 같다. 그런데
$$\frac{1}{2}(u_1 + u_2 + u_3) = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
이 성립하므로
$$\begin{align}
T\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} &= \frac{1}{2}(T(u_1) + T(u_2) + T(u_3)) \\
&= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서 모든 성분의 합은 $1$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
새로운 행렬
$$B = \begin{pmatrix}
20 & 21 \\
21 & 20
\end{pmatrix}$$
을 생각하자. $A = \frac{1}{41}B$이므로, 행렬 $B$의 고유치가 $\lambda$라면
행렬 $A$의 고유치는 $\frac{\lambda}{41}$이 되며, 대응되는 고유벡터는 동일하다.
한편 행렬 $B$의 고유치는
$$\lambda = 41, -1$$
이므로 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = 1, -\frac{1}{41}$$
이고, 이에 대응되는 고유벡터는 각각
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}$$
이다. 이제
$$\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix} = \frac{3}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}$$
임을 이용하면
$$\begin{align}
A^n x &= A^n \left(\frac{3}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}\right) \\
&= \frac{3}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{41}\right)^n \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 양변에 $n\to\infty$인 극한을 취하면
$$\lim_{n\to\infty} A^n x = \frac{3}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서 $a-b=0$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
주어진 벡터공간 $W$는 원점을 지나고 벡터
$n = \begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}$
을 법선벡터로 하는 평면이다.
구하는 벡터를 $p$라고 하자. 법선벡터를 이용하면
$$\begin{align}
p &= y - \text{Proj}_n y \\
&= y-n \\
&= \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
2
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $5$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
행렬 $A$가 $5\times 3$ 행렬이므로
$$\text{Nullity}A \leq 3$$
이다. 그런데 만약 $\text{Nullity}A = 3$이라면 차원정리로부터
$$\text{rank}A = 0$$
임을 의미하는데, 이는 곧 $A$가 영행렬이라는 말과 같다.
조건에서 $A$는 영행렬이 아니므로, $\text{Nullity}A $의 최대는 $2$이다.
동일하게 $B$는 $6\times 10$행렬이므로
$$\text{Nullity}B \leq 10$$
이다. 마찬가지로 최대가 $10$이면 영행렬이 아니라는 조건에 모순이다.
따라서 $\text{Nullity}B$의 최대는 $9$이다.
이상에서 $a+b=11$이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
(이 포스팅)을 참고하면 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = 5, 1, 1, 1$$
이고, 행렬 $B$의 고유치는
$$\lambda = 3, -1, -1, -1$$
이다. 한편 행렬식의 값은 모든 고유치의 값과 같으므로
$$\det A + \det B = 5 - 3 = 2$$
이다.
2021 경희대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
주어진 행렬의 네 고윳값의 곱은 주어진 행렬의 행렬식과 같으므로
$$\begin{align}
\det A &= \det \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & \textcolor{red}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2
\end{pmatrix} \\
&= 2\det \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & \textcolor{red}{-1} & 0 \\
1 & 0 & -2
\end{pmatrix} \\
&= -2 \det \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -2
\end{pmatrix} \\
&= 6
\end{align}$$
이다.
(계산 과정에서 빨간색 성분을 포함하는 행 또는 열에대한 라플라스전개를 이용했다.)
마치며
이상으로 2021 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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