[편입] 2023 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023년 경희대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경희대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(경희대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

2023년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$\sqrt{1+(y')^2}=\cosh 2x$임을 이용하면 구하는 곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} x \sqrt{1+(y')^2}dx \\ 
    &= 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} x\cosh 2xdx \\ 
    &= \frac{(e-1)}{2e} \pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

먼저 부분분수 분해로부터
$$\frac{1}{x(x^2 + 3)} = \frac{x}{x^2 (x^2 + 3)} = \frac{1}{3x} + \frac{x}{3(x^2 + 3)}$$
이 성립함을 이용하자. 식을 변형하여
$$36(x^2 - x + 6) = 36((x^2 + 3) - x + 3)$$
으로 쓰면 
$$\frac{36(x^2 - x + 6)}{x(x^2 + 3)} = 36\left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2 + 3} - \frac{x}{x^2 + 3}\right)$$
이 성립한다. 한편
$$\begin{align}
    &\int_1^{\sqrt{3}} \frac{2}{x}dx = \ln 3 \\ 
    &\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3}dx = \frac{\sqrt{3}}{36}\pi \\ 
    &\int_1^{\sqrt{3}} \frac{x}{x^2 + 3}dx = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}
\end{align}$$
가 성립하므로 전부 대입하면
$$\int_1^{\sqrt{3}} \frac{36(x^2 - x + 6)}{x(x^2 + 3)}dx = -\sqrt{3}\pi + 18\ln 6$$
이므로, $a=-1, b=3, c=18, d=6$이고, 따라서 합은 $26$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

(5) 임의의 양수 $p$에 대하여 주어진 이상적분은 수렴하지 않는다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

직접 두 극곡선의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

따라서 교점의 개수는 $3$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

우리는 이미 멱급수의 변형으로부터
$$\sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x^2 + x}{(1-x)^3}$$
임을 알고있다. 따라서 $a=1, b=0, c=2$이고 합은 $3$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

구하는 평면의 방정식이 직선 $L_1$을 품으므로, 구하는 평면의 방정식은
직선 $L_1$위의 한 점 $(0,1,2)$를 지나야 한다.

또, 구하는 평면의 방정식의 법선벡터 $v$는 두 직선의 방향벡터의 외적인
$$v=(-1,-1,0)$$
이므로, 평면의 방정식은
$$p : x+y=1$$
이고, $a=1, b=1, c=0$이다. 따라서 합은 $2$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$t=\frac{1}{2}$에서의 곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
    & r'(t) = (2, 2-4t, 0) \\ 
    & r''(t) = (0, -4, 0)
\end{align}$$
이 성립하므로 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\kappa = \frac{\left|r'\left(\frac{1}{2}\right)\times r''\left(\frac{1}{2}\right)\right|}{\left|r'\left(\frac{1}{2}\right)\right|^3}= 1$$
이므로, 접촉원의 반지름은 $1$이다.

한편 주어진 매개곡선의 매개화를 풀자. 
$$x=-1+2t \quad \Longrightarrow\quad t=\frac{x+1}{2}$$
이므로
$$y=2t-2t^2=-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$$
이 $r(t)$가 나타내는 포물선이다.

이때, $t=\frac{1}{2}$은 $(x, y) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$을 나타내고 우리가 구한 포물선은
$x=0$에 선대칭임과 동시에 위로 볼록한 형태이고, 꼭짓점의 $y$좌표는 $\frac{1}{2}$이다. 

따라서 우리가 구하는 접촉원은 중심이 $\left(0, -\frac{1}{2}\right)$이고 반지름이 $1$인 원이므로
$$C : x^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 = 1$$
이고, $a=0, b=-\frac{1}{2}, c=1$이므로, 합은 $\frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

전미분을 이용하자. 계산의 편의를 위해 양변을 제곱하면
$$z^2 = y + \cos^2 x$$
이고, $z=f(0,0)=1$이다. 위 식의 양변을 전미분하면
$$2zdz = dy - 2\sin x\cos x dx$$
에서 식을 $dz$에 대해 정리하면
$$dz = \frac{dy - 2\sin x\cos x dx}{2z}$$
이다. 이제 위 식에 
$$\begin{align}
    & x=0 \\ 
    & y=0 \\ 
    & dx = 0.2 \\ 
    & dy = 0.1 \\ 
    & z = 1
\end{align}$$
을 전부 대입하면 $dz = 0.05$이다. 따라서 근삿값은 $z+dz=1.05$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 값으로부터 $x, y, z$의 값은 $(x,y,t)=(2,4,-1)$이다.
연쇄법칙으로부터
$$\begin{align}
    z_u &= z_x \times x_u + z_t \times t_u \\ 
    &= 2uv e^{ty} + xyw^2 e^{ty} \\ 
    &= 4e^{-4}
\end{align}$$
이므로 $a-b = 8$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

임계점을 찾기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
    & f_x = 6xy - 12x \\ 
    & f_y = 3y^2 - 12y + 3x^2
\end{align}$$
에서 $f_x = f_y = 0$을 만족시키는 점은 $(0,0), (0,4),(2,2),(-2,2)$이다.

이제 극대, 극소, 안장점 여부를 판정하기 위해 이계편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
    & f_{xx}= 6y - 12 \\ 
    & f_{xy} = 6x \\ 
    & f_{yy} = 6y-12
\end{align}$$
에서 주어진 점들을 판정해보면 다음과 같다.

따라서 선택지의 값들을 비교했을 때 정답은 $2$번이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

문제의 제약조건 $x+y+z=0$을 이용하면
$$f(x,y,z)=2x-4z$$
이다. 한편 두 번째 제약조건을 매개화하면
$$x=\cos t,\quad y=\frac{\sin t}{\sqrt{2}}$$
이므로, 이를 $f(x,y,z)$에 대입하면
$$2\cos t -2\sqrt{2}\sin t=\sqrt{12}\sin(t+\alpha)$$
이다. 이때 $-1 \leq \sin x \leq 1$임을 이용하면
$a=\sqrt{12}, b=-\sqrt{12}$이므로 $ab=-12$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{y^2} \frac{1}{y^3 + 1}dxdy \\ 
    &= \int_0^1 \frac{y^2}{y^3 + 1}dy \\ 
    &= \frac{1}{3}\ln 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

사면체 $E$의 네 꼭짓점을 구해보면 순서대로
$$(0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,4)$$
이다. 따라서 주어진 사면체의 부피 $V$는
$$V = \frac{1}{6} \times 1\times 2\times 4 = \frac{4}{3}$$
이다.

한편 주어진 사면체 $E$의 무게중심의 $x$좌표 $\bar{x}$는
$$\bar{x} = \frac{0+0+0+1}{4} = \frac{1}{4}$$
이다. 따라서 주어진 삼중적분은
$$\iiint_E xdV = V \times \bar{x} = \frac{1}{3}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^\pi \int_0^{\frac{\pi}{6}} \int_0^1 \rho^3 \sin\phi \cos\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= \pi \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \\ 
    &= \frac{\pi}{32}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$2x+y=u, 3x-y=v$로 변수변환하면 $0\leq u \leq 2, 1\leq v\leq 4$이다.
한편 $5dxdy = dudv$이므로 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{5}\int_1^4 \int_0^2 \frac{u}{v^2} dudv \\ 
    &= \frac{2}{5} \int_1^4 \frac{1}{v^2} dv \\ 
    &= \frac{3}{10}
\end{align}$$
이므로 $a+b=13$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $yy'$로 나누면
$$\frac{y''}{y'} + \left(1+\frac{1}{y}\right)y' = 0$$
이다. 양변을 적분하면 곱미분으로부터
$$\ln y' + y + \ln y = C = \ln 2e$$
이고, 로그의 성질을 이용하면
$$ye^y y' = 2e$$
이다. 이제 이식의 양변을 다시 한 번 적분하면
$$(y-1)e^y = 2ex + C = 2ex$$
이다. 이제 $x=\frac{e}{2}$를 대입하면
$$(y-1)e^y = e^2$$
이고 이를 만족시키는 $y$의 값은 $2$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $x$로 나누면
$$\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1+ \left(\frac{y}{x}\right)^2}\right)dx - dy=  0$$
이다. 이제 $y=ux$로 치환하면 $dy=udx+xdu$이므로 대입하면
$$(u + \sqrt{1+u^2})dx - (xdu + udx) = 0$$
에서 식을 정리하면
$$\sqrt{1+u^2}dx = xdu$$
이다. 이를 변수분리하면
$$\frac{1}{x}dx = \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}}du$$
이고 양변을 적분하면
$$\ln x= \ln(u + \sqrt{u^2 + 1})$$
이다. ($y(1)=0 \Longrightarrow u(1)=0$임을 이용하여 적분상수 소거)

따라서 로그의 성질로부터
$$x = u + \sqrt{u^2 + 1}$$
이고, $u=\frac{y}{x}$를 다시 대입하여 식을 $x, y$에 대해 풀면
$$x^2 = y + \sqrt{x^2 + y^2}$$
이다. $x=2$를 대입하면
$$4=y + \sqrt{4 + y^2}$$
에서 이를 만족시키는 $y$의 값은 $\frac{3}{2}$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 미분방정식은
$$\frac{2}{x}dx + y\cot (y^2) dy$$
와 같이 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$2\ln x + \frac{1}{2} \ln \sin(y^2) = C = 0$$
에서 로그의 성질을 이용하면
$$\ln x^4 \sin(y^2) = 0$$
이므로 
$$x^4 \sin(y^2) = 1$$
이다. 따라서 
$$\sin(y^2(2)) = \frac{1}{16}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $x^2 + 1$로 나누면
$$y' + \frac{4x}{x^2 + 1}y = \frac{x}{x^2 + 1}$$
이라는 일계선형 미분방정식이 된다. 따라서 공식으로부터
$$\begin{align}
    y &= \frac{1}{(x^2 + 1)^2}\left(\int x(x^2 + 1)dx + C\right) \\ 
    &= \frac{1}{(x^2 + 1)^2}\left(\frac{1}{4} (x^2 + 1)^2 + C\right) \\ 
    &= \frac{1}{4}\left( 1 + \frac{75}{(x^2 + 1)^2}\right)
\end{align}$$
이다.

이제 $x=4$를 대입하면
$$y(4) = \frac{91}{289}$$
이므로, $b-3a = 16$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

역연산자와 소멸연산자를 이용하여 특수해를 먼저 구해보면
$$\begin{align}
    y_p &= \frac{1}{D^2 - 2D - 3} \left\{ 2e^x - 10\sin x\right\} \\ 
    &= -\frac{1}{2}e^x + \frac{5}{D+2}\left\{\sin x\right\} \\ 
    &= -\frac{1}{2}e^x - (D-2)\left\{ \sin x\right\} \\ 
    &= -\frac{1}{2}e^x + 2\sin x-\cos x
\end{align}$$
이다.

이를 바탕으로 제차해에 대한 미분방정식
$$y''-2y'-3y=0, y_c (0)=\frac{7}{2}, y_c '(0) = \frac{5}{2}$$
을 얻을 수 있고 라플라스변환으로 해결하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{7s-9}{2(s-3)(s+1)} \\ 
    &= \frac{1}{2}\left(\frac{3}{s-3} + \frac{4}{s+1}\right) \\ 
\end{align}$$
이므로 역변환하면
$$y_c = \frac{3}{2}e^{3x} + 2e^{-x}$$
이다. 따라서 주어진 미분방정식의 해는
$$\begin{align}
    y &= y_c + y_p \\ 
    &= \frac{3}{2}e^{3x} + 2e^{-x}-\frac{1}{2}e^x + 2\sin x-\cos x
\end{align}$$
이므로
$$y(\pi) = \frac{1}{2}e^{-\pi}\left(3e^{4\pi} + 4 - e^{2\pi}\right) + 1$$
이고, $a=3, b=4, c=-1, d=1$이므로 $abcd=-12$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

로그의 성질을 이용하여 주어진 미분방정식의 해를 다시 쓰면
$$y = x^2 (a \sin (3\ln x) + b\cos(3\ln x))$$
이다. 한편
$$\begin{align}
    & y(1) = b = -1 \\ 
    & y'(1) = 2b + 3a = 1
\end{align}$$
에서 $a=1, b=-1$이다. 

이제 주어진 코시-오일러 미분방정식의 보조방정식을 구해보면
$$r^2 + (c-1)r + d = 0$$
인데, 주어진 해를 관찰하면 해는 $r=2\pm 3i$여야 한다.

따라서 근과 계수의 관계를 이용하면
$$\begin{align}
    & 1-c = 4 \\ 
    & d = 13
\end{align}$$
이므로 $c=-3, d=14$이다. 따라서 구하는 합은 $10$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

라플라스변환의 성질로부터
$$f(0) = \lim_{s\to\infty} sF(s) = 3$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

함수 $t\cos 2t$의 라플라스변환이
$$F(s) = \frac{s^2 - 4}{(s^2 + 4)^2}$$
이므로, 함수 $e^{-t} t\cos 2t$의 라플라스변환은
$$F(s+1) = \frac{(s+1)^2 - 4}{((s+1)^2 + 4)^2}$$
이다. 따라서 $a=-1, b=2, c=-4, d=4, e=2$이므로 합은 $3$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

ㄴ. 직교행렬의 행렬식의 절댓값이 $1$이다. 따라서 꼭 $1$일 필요는 없다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

순서대로
$$\begin{align}
    & \det P = 5\det A \\ 
    & \det Q = -\det A \\
    & \det R = 2\det A
\end{align}$$
이므로, 구하는 값은 $7\times 6 = 42$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

고윳값 $\lambda = -3$의 고유공간에 속한다는 말은 고유치 $\lambda = -3$에 대응하는 고유벡터라는 말이다.

따라서 직접 곱하면 고유벡터의 정의로부터
$$A\begin{pmatrix}
-a \\
1 \\
0 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2a+2 \\
\text{?}\\
 \text{?}
\end{pmatrix}$$
에서 $3a = 2a+2$이므로 $a=2$이다. 두 번째 벡터도 동일하게 계산해보면
$$A\begin{pmatrix}
b \\
0 \\
1 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-2b-3 \\
\text{?} \\
\text{?} 
\end{pmatrix}$$
에서 $-3b=-2b-3$이므로 $b=3$이다.

따라서 둘의 합은 $5$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

기본행연산을 세 번 적용하여 상삼각행렬을 만들어보면
$$\begin{align}
    &\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
4 & -1 & 3 \\
-2 & 5 & 5 
\end{pmatrix} \\ 
&\to \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
0 & -3 & -3 \\
-2 & 5 & 5 
\end{pmatrix} \\ 
&\to \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
0 & -3 & -3 \\
0 & 6 & 8 
\end{pmatrix} \\ 
&\to \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
0 & -3 & -3 \\
0 & 0 & 2 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 이때 첫 번째 기본행연산은 $1$행의 $-2$배를 $2$행에 더하는 것이므로
$$E_1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}$$
이다. 두 번째 기본행연산은 $1$행의 $1$배를 $3$행에 더하는 것이므로
$$E_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 
\end{pmatrix}$$
이다. 세 번째 기본행연산은 $2$행의 $2$배를 $3$행에 더하는 것이므로
$$E_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 
\end{pmatrix}$$
이고, 이를 통해 만들어진 상삼각행렬은 위의 결과에서 확인가능하다.

이를 바탕으로 선택지와 비교하면 옳지 않은것은 4번이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

주어진 네 식을 전부 더하면
$$(k+1)(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)=4$$
에서 $k=-1$이면 해가 존재하지 않는다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

주어진 방정식을 다시 쓰면
$$\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
0 & 2 \\
1 & 1 
\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
11 
\end{pmatrix}$$
에서 최소제곱해 공식을 이용하면
$$\begin{pmatrix}
17 & 1 \\
1 & 5 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
19 \\
11 
\end{pmatrix}$$
이다.


이제 크래머 공식으로 $a$를 구하면
$$a = \frac{\det \begin{pmatrix}
19 & 1 \\
11 & 5 
\end{pmatrix}}{\det \begin{pmatrix}
17 & 1 \\
1 & 5 
\end{pmatrix}} = 1$$
이고, $1$행에 대해 주어진 연립방정식을 행렬곱하면
$$17a + b = 19$$
에서 $b=2$이다. 따라서 $b-a = 1$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

주어진 행렬 $A$고윳값을 구하면
$$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 5$$
이고 이에 대응되는 고유벡터 $v_1, v_2$는 순서대로
$$v_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}
3 \\
-1 
\end{pmatrix}$$
이다. 이때,
$$\begin{pmatrix}
5 \\
1 
\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 \\
-1 
\end{pmatrix}$$
이 성립하므로
$$\begin{align}
    A \begin{pmatrix}
5 \\
1 
\end{pmatrix} & =A \left(2\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 \\
-1 
\end{pmatrix}\right) \\ 
&= 2\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix} + 5^{100}\begin{pmatrix}
3 \\
-1 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
2+3\times 5^{100} \\
2-5^{100} 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서 $a=2, b=3, c=5$이고 $abc=30$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2023 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

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