[편입] 2024 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2024 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2024년 경희대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경희대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(경희대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2024 경희대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$x=1$이면 $y=1$이므로 $f(x,y) = x^3 + xy + 2y^3 - 4 = 0$이라 하면 점 $(1, 1)$에서
$$\begin{align}
    &f_x = 6, \quad f_y = 7 \\ 
    & f_{xx} = 6, \quad f_{yy} = 12 \\ 
    & f_{xy} = 1
\end{align}$$
이다. 따라서
$$\begin{align}
    y''(1) &= -\frac{f_{x}^2 f_{yy} - 2f_xf_yf_{xy} + f_{y}^2 f_{xx}}{-f_y^3} \\ 
    &= -\frac{430}{343}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

뉴턴 랩슨 방법으로 근을 찾는 과정은 다음 점화식
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
을 통해 이루어진다. 이제 $n=1$을 대입하면
$$x_2 = 2-\frac{13}{31} = \frac{49}{31}$$
임을 얻는다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= 2\pi\int_0^3 x((9x-2x^2) - x^2)dx \\
    &= 2\pi\int_0^3 x(9x-3x^2)dx
\end{align}$$
인데, 이는 $x$축과 곡선 $y=9x-3x^2$으로 둘러싸인 영역을 $y$축을 
중심으로 회전하여 얻은 회전체의 부피와 같다.

이때 곡선 $y=9x-3x^2$은 $x=\frac{3}{2}$에 선대칭이므로 해당 영역의 무게중심의
$x$좌표는 $\bar{x}=\frac{3}{2}$이고, 해당 영역의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \frac{3}{6}\times 3^3 \\ 
    &= \frac{27}{2}
\end{align}$$
이다. 따라서 파푸스의 정리로부터 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= 2\pi\times \bar{x} \times S \\ 
    &= \frac{81}{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$\sin x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \frac{1}{1+t^2}dt \\ 
    &= \frac{\pi}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

직접 미분해보면
$$\begin{align}
    f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{1+4\tan^2 x}}\times 2\sec^2 x
\end{align}$$
가 성립하므로 $x=\frac{\pi}{3}$을 대입하면 구하는 값은 $\frac{8}{\sqrt{13}}$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x=\frac{1}{t}$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^{\frac{1}{2}} \frac{t\left(1+\frac{2}{t^2}\right)}{\left(1+\frac{2}{t^2}\right)^2} \times \left(-\frac{1}{t^2}\right)dt \\ 
    &= \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{t(t^2 + 2)}{(t^2 + 1)^2} dt \\ 
    &= \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{t(t^2 + 1 + 1)}{(t^2 + 1)^2} dt \\ 
    &= \int_{\frac{1}{2}}^1 \left( \frac{t}{t^2 + 1} + \frac{t}{(t^2 + 1)^2}\right)dt \\ 
    &= \frac{1}{2}\ln(t^2 + 1) - \frac{1}{2(t^2 + 1)}\bigg|_{\frac{1}{2}}^1 \\ 
    &= \frac{3}{20} + \frac{1}{2}\ln\frac{8}{5}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

바로 적분을 해보면
$$\begin{align}
    I &= \ln(x+\sqrt{x^2 + 9}) - a\ln(x+1) \bigg|_0^{\infty} \\ 
    &= \ln\left(\frac{x+\sqrt{x^2 + 9}}{(x+1)^a} \right)\bigg|_0^{\infty}
\end{align}$$
이므로, $x\to\infty$일 때 극한이 수렴하려면 $a=1$이어야 한다.
(그래야 분자와 분모의 차수가 일치하므로.)

이제 계산해보면
$$I = \ln 2 - \ln 3 = \ln\frac{2}{3}$$
이므로 $a=1, b=1, c=2, d=3$이고 구하는 값은 $1$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

'서로 다른 접선'의 개수가 아니라 '접선의 개수'라 다소 표현이 모호하다.

 

다음 그림을 참고하면 접선의 개수는 $2$이다.
(왼쪽의 접선은 공통접선이다.)

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

수렴반지름을 구해보면 $R = \frac{1}{3}$이므로 정답을 고르기 위해서는 두 지점
$$x=\frac{2}{3}, \frac{4}{3}$$
에서의 수렴성만 판단하면 충분하다.

$x=\frac{2}{3}$인 경우 :
주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+2}}$$
가 되어 교대급수 판정법으로부터 수렴한다.

$x=\frac{4}{3}$인 경우 :
주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+2}}$$
가 되어 $p$급수 판정법으로부터 발산한다.

위 조건을 만족하는 선지를 고르면 2번이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 두 직선의 방향벡터를 외적하여 얻은 벡터를 $n$이라 하면
$$n=(1,2,-2)$$
이고, 이를 법선벡터로 하며 직선 $L_1$위의 한 점 $(1,1,0)$을 지나는 평면 $P$의 방정식은
$$P : x+2y-2z-3 =0$$
이다. 이제 평면 $P$와 직선 $L_2$위의 한 점 $(1,1,-1)$와의 거리가 
우리가 구하는 거리 $d$와 같으므로
$$d = \frac{|3+2-3|}{3} = \frac{2}{3}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{align}
    1 &= 3x^2 + 2y^2 + z^2 \\
    &\geq 3(6x^2 y^2 z^2)^{\frac{1}{3}}
\end{align}$$
에서 식을 정리하면
$$-\frac{1}{9\sqrt{2}}\leq xyz \leq \frac{1}{9\sqrt{2}}$$
임을 얻으므로, 최대와 최소의 차는 $\frac{\sqrt{2}}{9}$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^2 \int_0^y y^4 e^{xy^2}dxdy \\ 
    &= \int_0^2 y^2 (e^{y^3} - 1)dy \\ 
    &= \frac{e^8 - 1}{3} - \frac{8}{3} \\ 
    &= \frac{e^8}{3} - 3
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

문제에서 구하는 곡면의 넓이는 영역
$$D : 1\leq x^2 + y^2 \leq 2$$
위에서의 곡면
$$z=x^2 - y^2$$
의 넓이와 같으므로, 구하는 곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \iint_D \sqrt{1+4x^2 +4y^2}dxdy \\ 
    &= \int_0^{2\pi} \int_1^{\sqrt{2}} r\sqrt{1+4r^2}drd\theta \\
    &= \frac{\pi}{6}(27-5\sqrt{5})
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

구면좌표계와 대칭성을 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 8\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\int_1^{\sqrt{2}} \rho^4 \sin\phi\cos^2\theta d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= 8\times \frac{4\sqrt{2} - 1}{5} \times \frac{\pi}{4} \times \frac{7}{24} \\ 
    &= \frac{7}{60}(4\sqrt{2} - 1)\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$xy = u$, $x^2y = v$로 변수변환하면
$$dxdy = \frac{1}{x^2y}dudv$$
이므로, 구하는 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^3 \int_1^2 \frac{y}{x}dudv \\ 
    &= \int_1^3 \int_1^2 \frac{u^3}{v^2}dudv \\ 
    &= \frac{2}{3}\times \frac{15}{4} \\ 
    &= \frac{5}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $x$로 나누면
$$y'+\frac{y}{x} = \frac{\sin 2x}{x}$$
가 되고 이는 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    y &= e^{-\ln x}\left(\int \sin 2xdx + C\right) \\ 
    &= \frac{1}{x}\left(C - \frac{1}{2}\cos 2x\right) \\ 
    &= \frac{1}{x}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos 2x\right)
\end{align}$$
이므로, 구하는 값은 $\frac{1}{3}$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 미분방정식을 정리하여 다시 쓰면
$$y' + \frac{y}{x} = \frac{3x}{4y}$$
라는 베르누이 미분방정식을 얻으므로 $y^2 = u$로 치환한 뒤 정리하면
$$u' + \frac{2}{x}u = \frac{3}{2}x$$
라는 일계 선형 미분방정식이 된다. 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    u &= e^{-2\ln x}\left(\int \frac{3}{2}x^3dx + C\right) \\ 
    &= \frac{1}{x^2}\left(\frac{3}{8}x^4 + C\right) \\ 
    &= \frac{1}{x^2}\left(\frac{3}{8}x^4 - \frac{1}{2}\right)
\end{align}$$
이고, $(y(2))^2$은 $u(2)$와 같으므로 $u(2)=\frac{11}{8}$이고 $p+q=19$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

함수 $y(x)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{s+2}{(s+1)^2} \\ 
    &= \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2} 
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y = e^{-x} + xe^{-x}$$
임을 얻는다. 이제 $x=\ln\frac{1}{3}$을 대입한 뒤 정리하면
$$y\left(\ln\frac{1}{3}\right) = -0.3$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

질량이 $m$이고 용수철 상수와 감쇠상수가 각각 $k, \beta$인 용수철의 위치 $x$는
$$mx'' + \beta x + kx = 0$$
이라는 미분방정식을 만족시킨다. 문제에서 주어진 값을 전부 대입하면 
$$x''+x'+x=0$$
을 풀면 되고, $x(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 한 뒤 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{s+1+1}{s^2 + s+1} \\ 
    &= \frac{\left(s+\frac{1}{2}\right) + \frac{3}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} 
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$x(t) = e^{-\frac{t}{2}}\left(\cos\frac{\sqrt{3}}{2}t + \sqrt{3}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)$$
임을 얻으므로, $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{\sqrt{3}}{2}, c=\sqrt{3}$이다.
따라서 구하는 값은 $a+bc = 1$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

라플라스변환을 이용하면 상당히 식이 더러울 것 같다. 계수비교와 테일러전개를 이용하자.

주어진 미분방정식의 보조방정식을 구해보면
$$8r^2 + 4r + 5 = 0$$
에서 
$$r=\frac{-1\pm 3i}{4}$$
이다. 따라서 주어진 미분방정식의 일반해는
$$y=x^{-\frac{1}{4}}\left(c_1 \cos\left(\frac{3}{4}\ln x\right) + c_2 \sin\left(\frac{3}{4}\ln x\right)\right)$$
이다.

이제 $y(1) = c_1 = 4$임을 얻을 수 있고, $y'(1)=2$를 이용하기 위해 미분을 해야한다.

그런데 식이 생긴것을 보면 미분할 엄두가 안 날 수 있는데, 당연히 그냥 미분하는 것이 아니라 테일러전개를 이용하자.
$x=1$ 근방에서 
$$\ln x \approx x-1$$
이 성립하므로
$$\begin{align}
    \sin\left(\frac{3}{4}\ln x\right) &\approx \sin\left(\frac{3}{4}(x-1)\right) \approx \frac{3}{4}(x-1) \\ 
    \cos\left(\frac{3}{4}\ln x\right) &\approx \cos\left(\frac{3}{4}(x-1)\right) \approx 1 -\frac{1}{2}\times\frac{9}{16}(x-1)^2
\end{align}$$
이 성립한다.

따라서 곱미분을 한다고 생각해보면, 앞의 $x^{-\frac{1}{4}}$를 미분한 값은 $-\frac{1}{4}c_1$일 것이고
뒤의 항을 곱미분하는데, 삼각함수식이 아닌 테일러근사한 다항식을 미분한다고 생각해보면 뒤의 미분값은 $\frac{3}{4}c_2$이다.

따라서 
$$y'(1) = -\frac{1}{4}c_1 + \frac{3}{4}c_2 = 2$$
에서 $c_1 = 4$이므로 $c_2 = 4$이다.

정리하면 주어진 미분방정식의 해는
$$y=x^{-\frac{1}{4}}\left(4\cos\left(\frac{3}{4}\ln x\right) +4 \sin\left(\frac{3}{4}\ln x\right)\right)$$
이므로
$$\alpha = -\frac{1}{4}, \beta = 4, \gamma = \frac{3}{4}, \delta = 4$$
이다. 따라서 구하는 값은 $9$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

역연산자를 통해 특수해를 구해보자. 우변을 $5-4x$와 $e^{2x}$로 나누어서 보면
$$\frac{1}{(3D^2 - 8D -3)}\left\{e^{2x}\right\} = -\frac{1}{7}e^{2x}$$
이고
$$\begin{align}
    \frac{1}{(3D^2 - 8D -3)}\left\{5-4x\right\} &= -\frac{1}{3}\times \frac{1}{1+\frac{8}{3}D - D^2}\left\{5-4x\right\} \\ 
    &\approx -\frac{1}{3}\times \left(1 -\frac{8}{3}D\right)\left\{5-4x\right\} \\ 
    &= \left(\frac{8}{9}D - \frac{1}{3}\right)\left\{5-4x\right\} \\ 
    &= \frac{4}{3}x - \frac{47}{9}
\end{align}$$
이다. 이를 종합하면
$$y_p = \frac{4}{3}x - \frac{47}{9} - \frac{1}{7}e^{2x}$$
이므로 $a=-\frac{47}{4}, b=\frac{4}{3}, c=-\frac{1}{7}, d=2$이고 구하는 값은 $-40$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

함수 $t\sin at$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 하면
$$F(s) = \frac{2as}{(s^2 + a^2)^2}$$
임을 이용하자.

문제에서 구하는 라플라스 변환은
$$-F'(s)$$
를 계산한 뒤 $a=3$을 대입한 것이므로, 직접 계산해보면
$$\frac{18s^2 - 54}{(s^2 + 9)^3}$$
이 우리가 구하는 라플라스 변환이다. 따라서
$A=2, B=9, C=3, D=18, E=-54$이고 이를 전부 더하면 $-22$가 정답이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 식을 정리하면
$$F(s) = \frac{1}{4}\times \frac{3(s+1)-60}{(s+1)^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2}$$
이 성립하므로 역변환하면
$$f(t) = \frac{e^{-t}}{4}\left(3\cos\frac{15}{2}t - 8\sin\frac{15}{2}t\right)$$
이다.

이제 삼각함수의 합성을 통해 주어진 형태로 표현해보면
$$f(t) = \frac{\sqrt{73}}{4}e^{-t}\sin\left(\frac{15}{2}t + \theta\right)$$
이다. 이때
$$\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{73}}$$
이므로, 
$$\tan\theta = \frac{3}{8}$$
이고, $A=\frac{\sqrt{73}}{4}$이므로, 구하는 값은
$$A^2 + \tan\theta = \frac{79}{16}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

ㄱ. 항별로 전치를 취해보면 대칭행렬이 맞다.

ㄴ. 거짓이다.

ㄷ. $B$가 $A$의 조르단 표준형이다. 따라서 닮음이 맞다.
(사실 이 선지는 판단하지 않더라도 답을 고를 때 지장이 없다.)

ㄹ. 자명한 해밖에 없다면 영공간이 영벡터로 이루어진 벡터공간 (zero vector space)이므로
차원이 0이다. 반대로 영공간이 영벡터로 이루어진 벡터공간 (zero vector space)라면
자명한 해만 가질 것이므로 둘은 동치가 맞다.

ㅁ. 거짓이다. $\mathrm{R}^2$에서 $(1, 1), (0, 1)$을 생각해보자.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$$\det A = 2k^2 - 6k + 4 = 0$$
을 만족시키는 $k$의 합을 구하는 것과 같으며, 근과 계수의 관계를 이용하면
모든 $k$의 합은 $3$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

1열과 4열의 내적이 0이어야 하므로 $d=\frac{1}{\sqrt{2}}$이고

1행과 4행의 내적이 0이어야 하므로 $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.

다음으로, 2열과 4열의 내적이 0이어야 하므로 $c=\frac{1}{\sqrt{6}}$이고

1행과 2행의 내적이 0이어야 하므로 $b=\frac{1}{2}$이다.

이상에서 계산해보면
$$abcd = \frac{1}{8}$$
이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

문제에서 $A^3$에 곱해지는 벡터를 $v$라 하면
$$v = v_1 - 2v_2 + 3v_3$$
이 성립한다. 따라서
$$\begin{align}
    A^3 v &= A^3 (v_1 - 2v_2 + 3v_3) \\ 
    &= 2^3 v_1 - 2\times (-1)^3 v_2 + 3v_3
\end{align}$$
이고, 모든 성분의 합은 $24$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

우리는
$$(2u-3v-2w)\circ (u+4v+w)$$
를 계산하면 되므로, 항별로 나눠서 계산해보자.

$$\begin{align}
    u\circ (u+4v+w) &= 2|u|^2 + 8u\circ v + 2u\circ w \\ 
    &= 8 + 0 -2\sqrt{3}
\end{align}$$
이고
$$\begin{align}
    -3v \circ (u+4v+w) &= -3u\circ v -12|v|^2 - 3v\circ w \\ 
    &= 0-12+\frac{9}{2}
\end{align}$$
이고
$$\begin{align}
    -2w\circ (u+4v+w) &= -2u\circ w -8v\circ w - 2|w|^2 \\ 
    &= 2\sqrt{3} + 12 - 6
\end{align}$$
이므로, 이 셋을 전부 더하면 우리가 구하는 값은 $\frac{13}{2}$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

구하는 최적 근사 직선을
$$y=ax+b$$
라고 써보면 주어진 네 점을 대입했을 때 다음 연립방정식을 얻는다.
$$\begin{cases}
    0a+b &= 1 \\ 
    a+b&=3 \\
    2a+b &= 4\\
    3a+b &= 4
\end{cases}$$
이를 행렬로 표현하면
$$\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1 \\
2 & 1 \\
3 & 1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
4 \\
4
\end{pmatrix}$$
이고, 공식을 이용하면 구하는 $a, b$는 
$$\begin{pmatrix}
14 & 6 \\
6 & 4 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
23 \\
12 
\end{pmatrix}$$
를 만족시켜야 한다. 직접 풀어보면
$$a=1, b=\frac{3}{2}$$
이고, 이는 곧 구하는 최소제곱직선이
$$y=\frac{3}{2} + x$$
라는 말과 같다. 따라서 $p=3, q=2, k=1$이고 $k+p+q=6$이다.

 

 

 

2024 경희대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

주어진 기저에 대한 $(-2, 2)$의 좌표벡터는 $(1,1)$이다.
따라서 
$$\begin{align}
    T(w) &= \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & -3 \\
1 & -1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
4 \\
-2 \\ 
0
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 구하는 성분의 합은 $2$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2024 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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