[편입] 2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 이화여자대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(이화여자대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
$x\to\infty$이면 $\frac{1}{x}\to 0$이므로
$$\begin{align}
\ln\left(\frac{x+1}{x}\right) &= \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \\
&\approx \frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 극한값은 $\frac{1}{2}$이다.
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
a, b, c, d를 살펴보면 $c$는 명백하게 발산한다.
한편 선택지를 보면 $c$를 지우면 남는 선지는 $2$번 뿐이다.
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
(a) $\ln \ln n = t$로의 치환을 이용하면 적분판정법으로부터 수렴한다.
(b) 유리화하면 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\left(\sqrt{n + \frac{1}{n}} + \sqrt{n}}$$
이고 이는 급수
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\sqrt{n}}$$
과 수렴성이 같고, 아래의 급수는 $p$급수 판정으로부터 수렴하므로 위 급수도 수렴한다.
(c) $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정법으로부터 발산한다.
(d) 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
(a) 반례 :
$$x_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$
이면 $x_n$의 급수는 수렴하지만 $x_{2n}$의 급수는 발산한다.
(b) 반례 :
$$x_n = y_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$
이면 둘의 곱은 $\frac{1}{n}$이므로 이에 대한 급수는 발산한다.
(c) $|x_n|$에 대한 급수가 수렴하므로 $n\to\infty$일 때 $x_n \to 0$이다.
따라서 어떤 $N$이 존재하여 $n>N$인 모든 $n$에 대하여 부등식
$$0<|x_n| < 1$$
이 성립한다. 이제 위 부등식에 $|x_n|$을 곱하면 (양수이므로 부호변화가 없다)
$$0 < |x_n|^2 = (x_n)^2 < |x_n|$$
이 성립한다. 따라서 양변에 시그마를 취하면
$$0 < \sum_{n=1}^\infty (x_k)^2 < \sum_{n=1}^\infty |x_n|$$
이므로 비교판정법으로부터 수렴한다.
(d) 두 수열 $(x_n)^2, \frac{1}{n^2}$에 대하여 산술기하평균 부등식을 사용하면
$$(x_n)^2 + \frac{1}{n^2} \geq 2\sqrt{\frac{(x_n)^2}{n^2}} = 2\left|\frac{x_n}{n}\right|$$
이다. 따라서 양변에 시그마를 취하면
$$0 \leq \sum_{k=1}^\infty 2\left|\frac{x_n}{n}\right| \leq \sum_{k=1}^\infty \left( (x_k)^2 + \frac{1}{k^2}\right)$$
인데, 두 급수
$$\sum_{k=1}^\infty (x_k)^2,\quad \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$$
이 모두 수렴하므로, 급수
$$\sum_{k=1}^\infty 2\left|\frac{x_n}{n}\right|$$
도 비교판정법으로부터 수렴한다.
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
마치며
이상으로 2021 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
'편입수학 기출문제 풀이 > 이화여대' 카테고리의 다른 글
| [편입] 2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0) | 2023.12.14 |
|---|---|
| [편입] 2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0) | 2023.12.13 |