[편입] 2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 이화여자대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(이화여자대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
$x^2 = t$로 치환하면
$$f(x) = g(t) = t^3 - 7t^2 + 16t - 6$$
이고, $t\geq 0$이므로 $t \geq 0$인 부분을 그린 뒤 $y$축 대칭시키자.
개형파악을 위해 미분하면
$$g'(t) = 3t^2 - 14x + 16 = (t-2)(3t-8)$$
에서 $t=2$에서 극대, $t=\frac{8}{3}$에서 극소이다.
한편 $g(0)=-6, g(2)=6, g\left(\frac{8}{3}\right) > 0$이므로
$t\geq 0$에서 그래프를 그리면 다음과 같다.
(그림)
이를 바탕으로 전체 그래프를 그리면 다음과 같다. (그린 부분을 $y$축에 대칭)
(그림)
따라서 실근의 개수는 $2$이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
$n=2$를 대입하면 구하는 값은
$$\sum_{i=0}^2 {5 \choose {2i}}$$
이므로 값을 구해보면 $1 + 10 + 5 = 2^4$이다.
한편 선택지는 순서대로
1번 $2^4$
2번 $2^5$
3번 $2^3$
4번 $2^2$
5번 $2^1$
이므로 답은 $1$번이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
\section{Problem 3}
$e$의 정의로부터 주어진 극한은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= \lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{2a}{x-a}\right)^x \\
&= e^{2a} \\
&= e^2
\end{align}$$
이므로 $a=1$이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
양변을 $0$부터 $1$까지 정적분하면 좌변은
$$\begin{align}
\int_0^1 f(x)dx &=\int_0^1 f(x)dx \\
\int_0^1 f(x+1)dx &= \int_1^2 f(x)dx \\
\int_0^1 f(x+2)dx &= \int_2^3 f(x)dx \\
&\vdots \\
\int_0^1 f(x+2021)dx &= \int_{2021}^{2022}f(x)dx
\end{align}$$
가 성립하므로, 좌변의 합은
$$\int_0^{2022}f(x)dx$$
이고 우변을 계산하면
$$\int_0^1 e^{2021x} dx = \frac{e^{2021}-1}{2021}$$
이므로, 이 값이 구하는 적분값이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
미분하면
$$f'(x) = e^{-x}\sin x(2\cos x - \sin x) = 0$$
에서 $\tan \alpha = 2$이므로, $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
반각공식으로부터
$$\begin{align}
\sin^2 x &= \frac{1-\cos 2x}{2} \\
&= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\left(1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4\right) \\
&= T_4 (x)
\end{align}$$
이므로 $x=1$을 대입하면 구하는 값은 $\frac{2}{3}$이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
a. 외적의 성질로부터 맞다.
b. 내적이 $0$이라는 조건으로부터 $b$가 영벡터이거나 두 벡터가 수직이고
외적이 $0$이라는 조건으로부터 $b$가 영벡터이거나 두 벡터가 평행이다.
둘을 동시에 만족하려면 $b$가 영벡터여야 한다.
c. 이항하면 $(a-b)\circ x = 0$에서 $x$가 임의의 벡터이므로
영벡터가 아니면서 $a-b$에 수직하지도 않은 벡터를 충분히 고를 수 있다.
이때 내적이 $0$이려면 $a-b$벡터가 $0$임을 의미하고 이는 곧 $a=b$임을 의미한다.
d. $|a\times b| = |a||b|\sin\theta$이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
주어진 타원을 매개화하면
$$\mathrm{OP} = (3\cos t, 2\sin t)$$
이므로 내적을 계산하면
$$\begin{align}
a\circ \mathrm{OP} &= 6\sin t 6\cos t \\
&= 6\sqrt{2}\sin(t+\alpha)
\end{align}$$
이므로, 구하는 최댓값은 $6\sqrt{2}$이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
주어진 적분영역(삼각형)의 넓이는 $\frac{1}{2}$이고, 무게중심의 좌표는
$$(\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$$
이므로, 무게중심의 정의를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D 1 dA - \iint_D x dA - \iint_D y dA \\
&= \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}- \frac{1}{2}\times\frac{1}{3} \\
&= \frac{1}{6}
\end{align}$$
이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
비율판정법으로부터 수렴반지름은 $1$이다. 끝값만 계산하자.
$x=-1$인 경우)
교대급수판정법으로부터 수렴한다.
$x=1$인 경우)
다양한 판정법으로부터 발산함을 알 수 있다. (비교판정, 코시응집판정 등등)
따라서 구하는 수렴구간은 $-1 \leq x < 1$이다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
a. 직접 계산하면 수렴한다.
b. 적분 내부의 함수가 $\left|\frac{1}{\sqrt{x}}\right|$보다 작으므로 절대수렴한다.
c. 디리클레판정법으로부터 수렴한다.
d. 직접 계산하면 발산한다.
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
마치며
이상으로 2022 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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