[편입] 2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 이화여자대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(이화여자대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

 

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 행렬은 직교행렬이므로,
$$A^{-1} = A^T$$
가 성립한다. 즉, 구하는 역행렬은 $2$번이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

변환 이전의 삼각형의 넓이를 $S$, 변환 이후 삼각형의 넓이를 $D$라고 하면
$$D = S \times \det T$$
가 성립한다. 한편
$$S = \frac{9}{2}, \det T = 5$$
이므로 구하는 넓이는 $\frac{45}{2}$이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

공간상의 한 점 $P$와의 거리가 최소가 되는 평면 위의 점은
점 $P$를 주어진 평면에 직교사영한 점과 같다. 

그런데 잘 생각해보면 점 $P$를 시점으로 하고 $P$를 평면에 직교사영한 점 $Q$를 종점으로 하는
벡터는 평면의 법선벡터와 평행해야 한다.

한편 주어진 평면의 법선벡터 $n$은 
$$n = u\times v = (1,0,3)$$
이고, 선택지의 모든 점을 $Q$로 잡고 $\overline{\mathrm{PQ}}$와 $n$이 평행하도록 하는 선지를 찾으면 $1$번이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

a. $x=1$ 근방에서 $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$과 같으므로 수렴한다.

b. $x=0$ 근방에서 $\frac{1}{\sqrt{x}}$와 같으므로 수렴한다.

c. 직접 계산해보면 발산한다.

d. 직접 계산해보면 수렴한다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

a. 비율판정법으로부터 수렴한다.

b. $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정법으로부터 발산한다.

c. 근판정법으로부터 수렴한다.

d. 주어진 식을 정리하면
$$x_n = \frac{1}{n} \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n$$
이다. 그런데 
$$\lim_{n\to\infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)^n = e$$
이므로, 충분히 큰 모든 자연수 $n$에 대하여
$$1 <\left(1 +\frac{1}{n}\right)^n$$
이 성립한다. 양변을 $n$으로 나누면
$$\frac{1}{n} < \frac{1}{n} \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n = x_n$$
이고 $\frac{1}{n}$에 대한 급수가 발산하므로, 비교판정법으로부터 발산한다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

a. 반례 : $\frac{1}{n^2}$

b. 조건으로부터 두 급수
$$\sum_{n=1}^\infty x_n,\quad \sum_{n=1}^\infty x_{n+1}$$
이 모두 수렴한다. 따라서 산술기하평균 부등식으로부터
$$\begin{align}
    \sum_{n=1}^\infty (x_n + x_{n+1}) \geq 2\sum_{n=1}^\infty \sqrt{x_n x_{n+1}}
\end{align}$$
이 성립하므로, 비교판정법으로부터 수렴한다.

c. $y_n = nx_n$으로 치환하면 주어진 문제는 급수
$$\sum_{n=1}^\infty y_n$$
이 수렴할 때 급수
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{n}$$
이 수렴하는지 물어보는 문제로 바뀐다. 그런데 $y_n$에 대한 급수가 수렴한다는 조건으로부터
$y_n$에 대한 부분합이 유계이고, $\frac{1}{n}$은 $0$으로 수렴하는 양항 감소 수열이므로
디리클레판정법으로부터 급수
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{n}$$
은 수렴한다.

d. 반례 : 
$$x_n = y_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$
이면 각각에 대한 급수는 수렴하지만 둘의 곱은 $\frac{1}{n}$이므로 이에 대한 급수는 발산한다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

수렴반지름을 계산해보면 $4$이고, 멱급수의 중심은 $x=2$이다. 따라서
$$\begin{align}
    & a=2-4 =-2 \\ 
    & b = 2+4 = 6
\end{align}$$
이므로 $ab=-12$이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

행렬식의 성질로부터 $\det B^T = \det B$, $\det \text{adj}B = (\det B)^2$가 성립하고
$$\det B = -18$$
이므로 구하는 값은 $324 - 18 = 306$이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

두 행렬 $C, C^T$의 고유특성다항식은 같으므로, 직접 계산해보면 1번이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 두 곡면을 
$$\begin{align}
    & f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0 \\ 
    & g(x,y,z) = 4x^2 + y^2 + z^2 - 9 = 0
\end{align}$$
으로 쓰면, 구하는 접선의 방정식의 방향벡터는 두 경도벡터의 외적
$$\nabla f \times \nabla g$$
와 평행하다. 한편 직접 주어진 점에서 경도벡터를 구해보면
$$\begin{align}
    & \nabla f = (2x,2y,-1) = (-2,2,-1) \\ 
    & \nabla g = (4x,y,z) = (-4,1,2)
\end{align}$$
이므로 외적을 계산하면 $\nabla f \times \nabla g = (5,8,6)$이다.

이제 선지에서 방향벡터가 이와 평행하고 주어진 점을 지나는 직선을 고르면 $3$번이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

구하는 삼각뿔의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \frac{1}{6}\left|\begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \\
1 & 2 & 0 \\
2 & -3 & -1 
\end{pmatrix}\right| \\ 
&= \frac{8}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

a. 미분가능의 정의로부터 맞다.

b. 반례: $f(x) = |x|$는 $x=0$에서 극값을 갖지만 미분불가능하다.

c. 롤의 정리로부터 참이다.

d. 반례 : (이 포스팅)을 참고하면 된다.

e. 다르부 정리로부터 참이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

가로, 세로, 높이의 길이를 순서대로 $x,y,z$라 하면 문제는 제약조건
$$xy + 2yz + 2xz= 18$$
하에서 함수 
$$f(x,y,z) = xyz$$
의 최대를 구하는 것과 같다. 한편 산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{align}
    18 &= xy + 2yz + 2xz \\ 
    &\geq 3(2xyz)^{\frac{2}{3}}
\end{align}$$
이고 식을 정리하면
$$3\sqrt{6} \geq xyz$$
임을 얻는다. 따라서 구하는 최대는 $3\sqrt{6}$이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

a. 외적과 내적의 성질로부터 맞다.

b. 외적의 성질로부터 맞다.

c. 분배법칙이 성립하므로 맞다.

d. 외적은 교환법칙이 성립하지 않으므로 거짓이다.

e. $(u\circ w)v - (u\circ v)w$가 되어야 하므로 거짓이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

극좌표를 이용하면 대칭성으로부터 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^{\frac{\pi}{3}} \int_1^{2\cos\theta} r^2 drd\theta \\ 
    &= \frac{2}{3}\int_0^{\frac{\pi}{3}}(8\cos^3\theta - 1)d\theta \\ 
    &= 2\sqrt{3} - \frac{2}{9}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

가우스적분이므로 적분값은 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

$xz$ ($y=0$)를 바닥으로 하고 $y$를 높이로 하여 삼중적분을 계산하면
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^2 \int_0^{2-\frac{1}{2}x^2} \int_0^x 2xyz dydzdx \\ 
    &= \int_0^2 \int_0^{2-\frac{1}{2}x^2} x^3 z dzdx \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_0^2 x^3 \left(2-\frac{1}{2}x^2\right)^2 dx \\ 
    &= \frac{4}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

구하는 부피 $V$는 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 1$에 대하여
$$\begin{align}
    V &= \iint_D (\sqrt{2-x^2 - y^2} - (x^2 + y^2))dA \\ 
    &= \int_0^{2\pi}\int_0^1 r(\sqrt{2-r^2} - r^2)drd\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{6}(8\sqrt{2} - 7)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

곡선 $C$의 내부를 $D$라고 하면 그린정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (7-3)dA \\ 
    &= 4\times \pi\\ 
    &= 4\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

 

 

 

 

2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

 

 

 

 

마치며

이상으로 2023 이화여자대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~