수학올인의 수학 기록

평균값 정리의 변형, Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 평균값 정리의 변형된 형태인 Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem)에 대해 다뤄보려고 합니다. 평균값 정리의 변형된 형태이니 당연히 기존의 평균값 정리로부터 유도가능한 내용이지만, 매번 유도해서 쓰기 번거롭기도 하고 아예 이 Flett의 평균값 정리와 동치가 되는 상황을 물어보는 문제도 있기 때문에 이런류의 문제를 많이 푸는 경우 알아둔다면 나쁠것이 없기도 하죠. Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) : 닫힌 구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a)=f'(b)$..

함수방정식 f'(x)=(f(x+n)-f(x))/n의 풀이 방법 안녕하세요 수학올인입니다. 최근 질문받은 내신 문제 중 흥미로운 문제가 있어 글을 쓰게 되었는데요. 이번 글에서는 제목과 같이 함수방정식 $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ 의 풀이 방법과 그 해에 대해서 다뤄보겠습니다. 문제 모든 실수 $x$와 모든 자연수 $n$에 대하여 $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ 를 만족시키는 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오. 풀이 주어진 식에 $n=1$을 대입하면 모든 실수 $x$에 대하여 $$f'(x)=f(x+1)-f(x)$$ 를 얻는다. 함수 $f(x)$가 미분가능하므로, 함수 $f'(x)$도 미분가능하다. 양변을 미분하면 $$f'..