수학올인의 수학 기록

[수학] 역함수 적분에 대한 항등식 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 역함수에 대한 정적분값을 쉽게 구할 수 있도록 도와주는 항등식에 대해서 다뤄보겠습니다. 보통 적분 단원의 문제를 풀다 보면 역함수의 정적분값을 구하는 경우가 많이 생기는데요. 이 항등식을 적절히 이용한다면 그런 문제에서 아주 많은 도움이 될 수 있을 것입니다. 정리 닫힌구간 $[a, b]$에서 증가 또는 감소하는 연속함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_a^b f(x)dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx = bf(b)-af(a)$$ 증명 다음 그림을 생각해 보자. 등식의 좌변은 두 적분의 합(부호 있는 넓이)가 되며, 등식의 우변은 큰 정사각형의 넓이에서 작은 정사각형의 넓이를 ..

[수학] 도함수가 항상 1이 아니면 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \neq 1$이라면 함수 $f(x)$는 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명하겠습니다. 우선 고정점이 무엇인지 알아야겠죠. 어떤 실수 $t$가 존재해서 $f(t)=t$를 만족하면 점 $(t, f(t))$는 함수 $f(x)$의 고정점입니다. 즉, 고정점은 방정식 $f(x)=x$의 실근이라고 볼 수 있습니다. 따라서 주어진 문제를 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x)\neq 1$이면 방정식 $$f(x)=x$$ 의 서로 다른 실근의 개수는 많아야 1개이다. 로도 바꿀 수 있습니다. 어쨋든, 서론이 길었는데 바로 본론으로 들..

[수학] 특수한 행렬의 고유치 공식과 그 증명 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 행렬 중 특수한 행렬의 고유치들을 구해볼 텐데요. 시작하기 전에, (이전 포스팅)의 내용을 알고 있다는 전제로 내용이 전개되니 혹시 읽지 않으셨다면 먼저 읽고 오시면 이해에 도움이 될 겁니다. 먼저 다뤄볼 행렬은 주대각선은 전부 $a$, 나머지 성분은 전부 $b$인 행렬 즉, $$A=\left[\begin{matrix} a & b & \cdots &b & b \\ b & a & & b & b \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ b & b & & a & b \\ b & b & \cdots & b & a \end{matrix}\right]$$ 의 고유치를 구해보겠습니다. 이전 포스팅의 내용을..

[수학] 모든 성분이 1인 행렬의 고유치 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 모든 성분이 1인 행렬의 고유치와 행렬식을 구해보겠습니다. 우선 행렬식의 경우 그 행렬의 모든 고유치의 곱과 같으므로 우리는 고유치에 집중해보겠습니다. 우선 시작하기 전에 모든 성분이 1로만 채워진 $n \times n$ 행렬을 $\textbf {1}_n$이라고 쓰고, 1행렬(Matrix of one) 이라고 부르겠습니다. 즉, $$\textbf{1}_n = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & & 1 & 1 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 1 & 1 & & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{mat..

[수학] 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 뭔가에 대해 다룬다기보단 단순히 기록을 목적으로 합니다. 최근에 재미있는 게시글을 봤는데, $x^n$의 적분은 $n\neq -1$인 경우에만 일반화가 되어있습니다. 만약 $n= -1$이라면 부정적분이 로그함수가 되니까요. 그런데, 약간의 트릭 (적분상수를 임의로 조정하기)을 통해서 저 공식으로부터 $$\displaystyle \int \frac{1}{x}dx = \ln x$$ 임을 유도하는것이 꽤 신기하더라고요. 아래는 유도과정입니다. 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기 먼저, 양수 $a$에 대해 적분 $$\int \frac{1}{x^{a+1}}dx$$ 를 생각하자. 그러면 $a\to 0$이라면..

[수학] 무리수의 무리수 제곱은 항상 무리수인가? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 무리수의 무리수 제곱이 항상 무리수가 되는지에 대해 다뤄보겠습니다. 우선 직관적으로 생각하기에 (펜을 들고 해보진 않았지만) 무리수끼리 연산을 하니 뭔가 결과도 당연히 무리수라고 생각이 되긴 합니다. 그런데 과연 어떤 경우를 상정하더라도 무리수가 될까요? 무리수가 되는지 말고 더 원론적인 이야기를 해볼게요. 우리가 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지, 유리수인지 따질 순 있을까요?? 교과서에서 $\sqrt {2}$가 무리수임을 보이는 증명 과정을 보통 한 번씩은 보셨을 겁니다. 이 과정 자체도 생각보다 되게 길고 복잡하죠. 이 증명과 비슷하게 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지 유리수인지 따질 수 있을까요? 결론만..

[수학] 다항함수와 지수함수의 곱의 빠른 적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 다항함수와 지수함수가 곱해졌을 때 빠른 적분 방법에 대해 알아보겠습니다. 사실 곱해진 함수가 꼭 다항함수일 필요는 없는데요. 다만, 다항함수의 경우 계속 미분을 하다 보면 언젠가는 $0$이 되기 때문에 주로 곱해진 함수가 다항함수일 때 사용하는 편입니다. 그럼 바로 시작할게요. 지수함수의 빠른 부분적분 원하는 만큼 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. 1) $$\int f(x)e^xdx = (f(x) - f'(x) + f''(x) - \cdots)e^x$$ 2) $$\int f(x)e^{-x}dx = -(f(x) + f'(x) + f''(x) + \cdots)e^{-x}$$ 증명은 (이전 포스팅)..

[수학] 도표적분법을 이용한 빠른 부분적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 도표적분법을 이용한 부분적분을 빠르게 계산하는 방법에 대해 다룰 텐데요. 도표적분법이라는 이름을 다들 어디서 한 번씩은 들어보셨을 것 같습니다. 도표라 함은 우리가 부분적분을 할 때 미분할 함수, 적분할 함수를 표로 만들어서 그려놓는것을 말합니다. 그럼 도표적분법은 우리가 만든 표를 이용해서 적분을 계산하는 것을 말하겠죠? 표는 구체적으로 아래처럼 생겼습니다. 가장 왼쪽 열에는 부호를 플러스부터 교대로 적어 내려 가며, 그 오른쪽엔 미분할 함수를 한 칸 씩 내려갈 때마다 한 번씩 미분하여 적습니다. 그 오른쪽엔 적분할 함수를 한 칸씩 내려갈 때마다 한 번씩 적분하여 적습니다. 그런 뒤 같은 색깔끼리 묶어 더해서 써주면..

[수학] 다항함수와 로그함수의 곱의 빠른 부분적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 다항함수와 로그함수가 곱해진 경우에 한정된 빠른 부분적분 계산법에 대해 다뤄보려고 합니다. 우선 본론을 시작하기 전에 아래의 세 가지를 알고 있음을 전제합니다. 만약 모르셨더라도, 지금 이 글을 읽으시며 한 번 확인해보세요. 첫 번째 : 로그함수의 부정적분 $$\int \ln x dx = x\ln x - x$$ 첫 번째로, 위 식처럼 로그함수의 부정적분을 계산할 수 있어야 합니다. 그런데 이건 뭐 다들 아실 거라 생각하긴 합니다. 만약 몰랐더라도 위 식의 결과만 알고 있으면 됩니다. 두 번째 : 치환적분 치환적분의 계산 방법에 대해 알고 있어야 합니다. 만약 모르신다면 치환적분에 대해 먼저 학습해 ..

MIT Integration Bee 2019 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..