문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2019 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 5. 23. 23:57

MIT Integration Bee 2019 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2019 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2019년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

주어진 적분을 $I$라고 하자. $x=2\pi - t$로 치환하면

$$ \begin{align} I &= \int_{2\pi}^{0} \tan(\cos(2\pi - t)) dt \\ &= -\int_{0}^{2\pi} \tan(\cos t) dt \\ &= -\textcolor{red}{I} \end{align} $$

이므로 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= I \\ &= 0 \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

치환적분을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x+\ln x} dx \\ &= \int \frac{1}{t} dt \quad (x + \ln x = t) \\ &= \ln t \\ &= \ln(x + \ln x) \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

지수법칙을 통해 식을 정리하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int e^x\left(e^{e^x} + e^{-e^x}\right)dx \\ &= \int (e^t + e^{-t})dt \quad (e^x = t) \\ &= e^t - e^{-t} \\ &= e^{e^x} - e^{-e^x} \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

적분 공식

$$\int \frac{1}{a^2 - x^2}dx = \frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right)$$

와 대칭성을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1-x^2}dx \\ &= \ln 3 \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{0}^{2} x^{\ln 2}dx \\ &= \frac{1}{1+\ln 2} 2^{1+\ln 2}\end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

대칭성과 삼각함수의 직교성과 (Wallis 공식)을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{-2\pi}^{2\pi} (\cos^2 (3x) - \sin 2x\sin(2019x)) dx \\ &= \int_{-2\pi}^{2\pi} \cos^2 (3x) dx \\ &= 2\pi \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$\sin\sin\sin x = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int 1 dt \\ &= t \\ &= \sin\sin\sin x \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

$\displaystyle \frac{\sqrt{2019}}{2t}=u$로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{2}{\sqrt{2019}}\int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2019}} \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int t\sin t dt \\ &= 2(-t\cos t -\sin t ) \\ &= 2\sin\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\cos\sqrt{x}\end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int_{0}^{1} \frac{t^2}{t^2+1} dt \\ &= 2\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{t^2 + 1}\right)dt \\ &= 2\left(1 - \frac{\pi}{4}\right) \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

삼각함수의 곱을 합으로 바꾸면

$$\cos x\cos 2x = \frac{\cos 3x + \cos x}{2}$$

가 성립하므로 직교성과 (Wallis 공식)을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (\cos^2(3x) + \cos x\cos 3x)dx \\ &= \frac{1}{2}\times \pi \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

극한과 적분의 순서를 바꾸면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\to\infty} e^{-x^{2n}} dx \\ &= \int_{-1}^{1} 1 dx \\ &= 2 \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{0}^{e} e dx \\ &= e^2 \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

삼각함수의 합을 곱으로 바꾸면

$$\sin(20x)+\sin(19x) = 2\sin\frac{39}{2}x\cos\frac{1}{2}x$$

$$\cos(20x)+\cos(19x) = 2\cos\frac{39}{2}x\cos\frac{1}{2}x$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{100}}\tan\frac{39}{2}x dx \\ &= -\frac{2}{39}\ln\cos\frac{39\pi}{200} \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$와 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$

임을 이용하여 식을 전부 전개한 뒤 적분하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{e^x \sin 2x}{2}\end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \sqrt{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x} dx \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x}dx \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1 - \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\right)dx \\ &= \frac{\sqrt{2}\pi}{4} \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$x=t^3$으로 치환하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 3\int \frac{t^2}{t^3 + t}dt \\ &= 3\int \frac{t}{t^2 + 1}dt \\ &= \frac{3}{2}\ln(t^2 + 1) \\ &= \frac{3}{2}\ln(x^{\frac{2}{3}} + 1)\end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

피적분함수를 다시 쓰면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{0}^{2} (x^{x^x})' dx \\ &= 15 \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

부분분수 분해를 이용하면 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \left(\frac{2}{x}-\frac{3}{x(x^3 + 1)}\right)dx \\ &= 2\ln x - 3 \int \frac{x^2}{x^3(x^3+1)}dx \\ &= 2\ln x - 3\int \left(\frac{1}{x}-\frac{x^2}{x^3 + 1}\right)dx \\ &= 2\ln x - 3\left(\ln x - \frac{1}{3}\ln(x^3 + 1)\right) \\ &= \ln\left(x^2 + \frac{1}{x}\right) \end{align} $$

이다.

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

$\tan^{-1}x = t$라고 하자 그러면 $\tan t = x$이다.

한편 피적분함수는 $\cos t$이고 삼각함수의 성질을 이용하면

$$\cos t = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \sinh^{-1} x \end{align} $$

이다.

이상으로 2019 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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