■ MIT Integration Bee란?
1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.
문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.
부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.
정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.
■ 시간제한은 몇 분인가요?
본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.
■ 이외의 규칙이 있나요?
문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.
또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.
추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.
■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?
구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를
확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.
기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및
Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에서는 제목과 같이 2015 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을
다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.
추가로, 2015년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.
제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번
합차공식을 이용하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int (\cos^2 x - \sin^2 x)dx \\ &= \int (1-2\sin^2 x)dx \\ &= \int \cos (2x) dx\\ &= \frac{1}{2}\sin(2x) \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번
주어진 식을 변형하여 계산하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{4}\int \frac{4x + 2 - 2}{\sqrt{4x + 2}} dx \\ &= \frac{1}{2}\int \sqrt{4x + 2} dx - \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{4x + 2}}dx \\ &= \frac{1}{24}(4x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}\sqrt{4x + 2} \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번
$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int_0^{2\sqrt{2}} \cos t dt \\ &= 2\sin(2\sqrt{2}) \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번
이 포스팅을 참고하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \ln(\sec x+ \tan x) \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번
삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos xe^{\sin x} dx \\ &= e^{\sin x}\bigg\rvert_0^\frac{\pi}{2} = e-1 \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번
부분적분을 이용하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}x^2 (\ln x)^2 \bigg\rvert_0^e - \int_1^e x\ln x dx \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4}\int_1^e 2x\ln(x^2) dx \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4}(x^2 \ln(x^2) - x^2)\bigg\rvert_1^e \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{4} \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번
$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int \frac{t}{t^2 + 4t + 5} dt \\ &= 2\int \left(\frac{t+2}{(t+2)^2 + 1} - \frac{2}{(t+2)^2 + 1}\right)dt \\ &= \ln((t+2)^2 + 1) - 4\tan^{-1}((t+2)^2 + 1) \\ &= \ln((\sqrt{x} + 2)^2 + 1) - 4\tan^{-1}((\sqrt{x} + 2)^2 + 1)\end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번
주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{\ln 2015} (2015)^x \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번
부분분수분해를 이용하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^2 \left(\frac{3}{64(x-3)} - \frac{3}{64(x+5)} + \frac{5}{8(x+5)^2}\right) dx \\ &= \frac{1}{28} - \frac{3}{64}\ln\left(\frac{21}{5}\right) \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번
$1+\ln x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \ln t dt \\ &= t\ln t - t \\ &= (1+\ln x)\ln(1+\ln x) - (1 + \ln x)\end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번
통분하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \sqrt{\frac{1-\sin^2 x}{\sin x}}dx \\ &= \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} dx \\ &= 2\sqrt{\sin x}\end{align} $$
이다.
동일한 문제가 2011년 (풀이 보기), 2012년 (풀이 보기)에 있습니다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번
역쌍곡선함수를 떠올리면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \sinh^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번
항별로 적분하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int_2^e \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x(\ln x)^2}\right) dx \\ &= \left(\ln x + \frac{1}{\ln x}\right)\bigg\rvert_2^e \\ &= 2 - \ln 2 - \frac{1}{\ln 2} \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번
$e^x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int t^2 \tan^{-1}t dt \\ &= \frac{1}{3}t^3 \tan^{-1}t - \frac{1}{3}\int \frac{t^3}{t^2 + 1} dt \\ &= \frac{1}{3}t^3 \tan^{-1}t - \frac{1}{3}\int \frac{t(t^2 + 1) - t}{t^2 + 1} dt \\ &= \frac{1}{3}t^3 \tan^{-1}t - \frac{1}{3}\int \left(t - \frac{t}{t^2 + 1}\right) dt \\ &= \frac{1}{3}t^3 \tan^{-1}t - \frac{1}{6}t^2 + \frac{1}{6}\ln(t^2 + 1) \\ &= \frac{1}{3}e^{3x} \tan^{-1}(e^x) - \frac{1}{6}e^{2x} + \frac{1}{6}\ln(e^{2x} + 1)\end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번
$x=1, x=2, x=3$을 기준으로 구간을 나눠 계산하면 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = 2+\frac{9\ln 3}{4} - \frac{3\ln 5}{4} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번
대칭성을 활용한 뒤 분자, 분모를 $\cos^4 x$로 나누면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= 4\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{\sin^4 x+\cos^4 x}dx \\ &= 4\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sec^2 x(\tan^2 x + 1)}{\tan^4 x + 1}dx \\ &= 4\int_0^\infty \frac{t^2 + 1}{t^4 + 1}dt \quad (\tan x = t) \\ &= 4\int_0^\infty \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{\left(t - \frac{1}{t}\right)^2 + 2} dt \\ &= 4\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{u^2 + 2} du \quad\left(t - \frac{1}{t} = u\right) \\ &= 8\int_0^\infty \frac{1}{u^2 + 2} du \\ &= 2\sqrt{2}\pi \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번
분자, 분모에 $e^x$를 곱한 뒤 $e^x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= -\int \frac{e^x (e^x + 1)}{e^x (e^x - 1)} dx \\ &= -\int \frac{t+1}{t(t-1)} dt \\ &= -\int \left(\frac{2}{t-1} - \frac{1}{t}\right) dt \\ &= \ln t - 2\ln(t-1) \\ &= x - 2\ln(e^x - 1) \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번
삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \tan^2 x(\sec^2 x - 1) dx \\ &= \int (\tan^2 x\sec^2 - (\sec^2 x - 1))dx \\ &= \frac{1}{3}\tan^3 x - \tan x + x \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번
삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos^2 x} dx \\ &= \int \frac{t^2 - 1}{t^2} dt \quad (\cos x = t ) \\ &= t + \frac{1}{t} \\ &= \cos x + \sec x \end{align} $$
이다.
2015 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번
분자, 분모에 2를 곱하면 주어진 적분은
$$ \begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 3} dx \\ &= \frac{1}{2}\int \frac{(x^2 + 2x + 3)'}{x^2 + 2x + 3} dx \\ &= \frac{1}{2}\ln(x^2 + 2x + 3) \end{align} $$
이다.
이상으로 2015 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.
년도별 MIT Integration Bee Qualifier 정답 및 해설 (클릭시 이동)
(Qualifier가 아닌 Regular season, Quarterfinals등은 블로그 우측의
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