MIT Integration Bee 2013 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

MIT Integration Bee 2013 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

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  ■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

 

  ■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

 

  ■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log$는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

 

  ■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

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안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2013 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

 

추가로, 2013년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

 

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =-\int 2\ln 2dx\\ & =-2x\ln 2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

구간을 나누어 적분하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{-1}^0{e}^{-x}dx+{\int }_0^3{e}^{x}dx\\ & =e^3+e-2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

$f(x)=\sin x,g(x)=\ln x$라고 하자. 그러면 주어진 적분은 

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}dx\\ & =\int {\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }dx\\ & =\frac{f(x)}{g(x)}\\ & =\frac{\sin x}{\ln x}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

평행이동을 이용하자. 그러면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_1^{11}(x-1{)}^{3}dx\\ & ={\int }_0^{10}{x}^{3}dx\\ & =\frac{{10}^4}{4}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

주어진 적분은 제 1사분면에 위치한 타원 $3x^2+y^2=12$의 넓이와 같다.

따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{4}\times 2\times 2\sqrt{3}\pi \\ & =\sqrt{3}\pi \end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

주어진 두 함수 

$$(x-3{)}^7\sin (x-3)$$

은 모두 점 $(3,0)$에 대칭이다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{6}xdx\\ & =18\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \sin x\sec xdx\\ & =\int \tan xdx\\ & =-\ln (\cos x)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

인수분해를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{(x+1)(x-1)(x^3+1)}{(x-1)(x^3+1)}dx\\ & =\int (x+1)dx\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =(x\ln x-x){|}_0^1\\ & =-1\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

분자, 분모에 $e^x$를 곱하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{e^x}{e^x-1}dx\\ & =\int \frac{(e^x-1{)}^{\prime }}{e^x-1}dx\\ & =\ln (e^x-1)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

삼각함수의 성질과 월리스 공식(Wallis 공식)을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\pi }({\sin }^{2}x-{\sin }^{4}x)dx\\ & =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{2}x-{\sin }^{4}x)dx\\ & =2(\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2})\\ & =\frac{\pi }{8}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

$\pi \sqrt{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은 

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2{\int }_0^{21\pi }\sin tdt\\ & =2{\int }_{20\pi }^{21\pi }\sin tdt\\ & =2{\int }_0^{\pi }\sin tdt\\ & =4\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int ({\sec }^{2}x-1)dx\\ & =\tan x-x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

함수 $f(x)=x-\lfloor x\rfloor$에 대하여 다음이 성립한다.

1. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)=f(x+1)$이다.

2. $f(x)=x(0\le x<1)$이다.

따라서 주어진 적분은 

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{256}f(x{)}^{2}dx\\ & =256{\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx\\ & =256{\int }_0^1{x}^{2}dx\\ & =\frac{256}{3}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$x=t^4$로 치환한 뒤 부분적분을 반복적용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =4\int t^3{e}^{t}dt\\ & =4(t^3-3t^2+6t-6)e^t\\ & =4(x^{\frac{3}{4}}-3\sqrt{x}+6x^{\frac{1}{4}}-6)e^{x^{\frac{1}{4}}}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

삼각함수의 성질과 이 포스팅을 참고하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x}dx\\ & =\int \frac{1-{\sin }^{2}x}{\sin x}dx\\ & =\int (\csc x-\sin x)dx\\ & =\ln (\csc x-\cot x)+\cos x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$f(x)=x,g(x)=(\ln x{)}^2$라고 하자. 그러면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (1\times (\ln x{)}^2+x\times \frac{2\ln x}{x})dx\\ & =\int (f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x))dx\\ & =\int (f(x)g(x){)}^{\prime }dx\\ & =f(x)g(x)\\ & =x(\ln x{)}^2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

$$x^3=x(x^2+1)-x$$

임을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (x-\frac{x}{x^2+1})dx\\ & =\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

분모의 이차식을 완전제곱식으로 만들면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{1}{(x-1{)}^2+1}dx\\ & ={\tan }^{-1}(x-1)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

로그의 성질과 삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}\int \sin x\ln ({\sin }^{2}x)dx\\ & =\frac{1}{2}\int \sin x\ln (1-{\cos }^{2}x)dx\\ & =-\frac{1}{2}\int (\ln (1+t)+\ln (1-t))dt(\cos x=t)\\ & =-\frac{1}{2}(t\ln (1-t^2)+\ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)-2t)\\ & =\cos x-\cos x\ln \sin x-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 21번

$x^2=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-t^2}dt\\ & =\frac{1}{4}\ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)\\ & =\frac{1}{4}\ln \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 22번

$x=2\sin t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =4\sqrt{3}\int {\cos }^{2}tdt\\ & =2\sqrt{3}\int (1+\cos (2t))dt\\ & =2\sqrt{3}t+\sqrt{3}\sin (2t)\\ & =2\sqrt{3}{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+2\sqrt{3}\sin t\cos t\\ & =2\sqrt{3}{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}x\sqrt{4-x^2}\end{array}$$

$$(\sin t=\frac{x}{2},\cos t=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2})$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 23번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int ({\sec }^{7}x-{\sec }^{5}x)\tan xdx\\ & =\int (t^6-t^4)dt(\sec x=t)\\ & =\frac{1}{7}{t}^7-\frac{1}{5}{t}^5\\ & =\frac{1}{7}{\sec }^{7}x-\frac{1}{5}{\sec }^{5}x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 24번

구하는 적분값을

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1-\sin x}dx$$

라 하자. $x=-t$로 치환하면

$${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{1+\sin t}dt=I$$

이다. 둘을 더하면

$$\begin{array}{rl}I+I& ={\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{2}{1-{\sin }^{2}x}dx\\ & =2{\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\sec }^{2}xdx\\ & =4{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sec }^{2}xdx\\ & =4\\ & =2I\end{array}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\text{(Integral)}=I=2$$

이다.

 

 

 

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 25번

$$\sqrt{x^2-2}=t⟹x^2-2=t^2$$

으로 치환하면 

$$dx=\frac{t}{x}dt$$

가 성립한다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{1}{xt}\times \frac{t}{x}dt\\ & =\int \frac{1}{x^2}dt\\ & =\int \frac{1}{t^2+2}dt\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}\right)\end{array}$$

이다.

 

 

 

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이상으로 2013 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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