문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2012 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 5. 13. 23:59

MIT Integration Bee 2012 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2012 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2012년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

$\sqrt{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{2t}{t-1}dt \\ &= 2\int \left(2 + \frac{2}{t-1}\right) dt\\ &= 2t + 2\ln(t-1) \\ &= 2\sqrt{x} + 2\ln(\sqrt{x} - 1)\end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

로그의 성질을 적절히 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{16}{25} \int \frac{5}{4}x^\frac{1}{4}\ln \left(x^\frac{5}{4}\right) dx \\ &= \frac{16}{25} \int \ln t dt \quad (x^\frac{5}{4} = t) \\ &= \frac{16}{25} (t\ln t - t) \\ &= \frac{4}{5}x^\frac{5}{4}\ln x - \frac{16}{25}x^\frac{5}{4}\end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

$\sqrt{x} = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int \frac{1}{(1+t)\sqrt{1-t^2}}dt \\ &= 2\int\frac{1}{1+\sin u}du \quad (t=\sin u) \\ &= 2\int\frac{1-\sin u}{\cos^2 u}du \\ &= 2\int(\sec^2 u-\sec u \tan u)du \\ &= 2\tan u - 2\sec u \\ &= \frac{2t-2}{\sqrt{1-t^2}} \\ &= \frac{2\sqrt{x} -2}{\sqrt{1-x}} \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

$x=t^4$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 4\int \frac{t^3}{t^2(t+1)^{10}}dt \\ &= 4\int\frac{t}{(t+1)^{10}} dt \\ &= 4\int\left(\frac{1}{(t+1)^9} - \frac{1}{(t+1)^{10}}\right) dt \\ &= \frac{4}{9(t+1)^9} - \frac{1}{2(t+1)^8} \\ &= \frac{4}{9(x^\frac{1}{4}+1)^9} - \frac{1}{2(x^\frac{1}{4}+1)^8} \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$$\cos^{-1}x = t\quad \Longrightarrow \quad \cos t = x$$

라 하자. 그러면 피적분함수는

$$\sin(\cos^{-1} x) = \sin t = \sqrt{1-\cos^2 t} = \sqrt{1-x^2}$$

이다. 따라서 구하는 적분은 제1사분면에 위치한 원 $x^2 +y^2 = 1$의 넓이이므로

$$\text{(Integral)} = \frac{1}{4} \times \pi $$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

적분공식

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$$

를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{\sqrt{5-(x+2)^2}} dx \\ &= \sin^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$\frac{1}{x} = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_2^4 \frac{1}{t^2}\lfloor \ln \lfloor t \rfloor \rfloor dt \\ &= \int_2^3 \frac{1}{t^2}\lfloor \ln 2\rfloor dt + \int_3^4 \frac{1}{t^2}\lfloor \ln 3 \rfloor dt \\ &= 0 + \int_3^4 \frac{1}{t^2} dt \\ &= \frac{1}{12}\end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

$\frac{\pi}{2}-x = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1+\cos t}dt \\ &= \frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\sec^2\left(\frac{t}{2}\right) dt \\ &= \tan \left(\frac{t}{2}\right)\bigg|_0^\frac{\pi}{2} \\ &= 1 \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

구하는 적분값을

$$I = \int_1^{2011} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2012 - x} + \sqrt{x}} dx$$

라 하자. $x = 2012 - t$로 치환하면

$$ \int_1^{2011} \frac{\sqrt{2012-t}}{\sqrt{2012 - t} + \sqrt{t}} dt = \textcolor{red}{I}$$

이다. 둘을 더하면

$$\begin{align} I + \textcolor{red}{I} &= \int_1^{2011}\frac{\sqrt{2012 - x} + \sqrt{x}}{\sqrt{2012 - x} + \sqrt{x}}dx \\ &= 2010 \\ &= 2I \end{align}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\text{(Integral)} = I = 1005$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

분자, 분모에 $x+1$을 곱한 뒤 $x^2$으로 나누면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{x^2 - 1}{(x^2 + 2x + 1)\sqrt{x^3 + x^2 + x}} dx \\ &= \int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}+2\right)\sqrt{x+\frac{1}{x}+2}} dx \\ &= \int \frac{1}{(t+1)\sqrt{t}}dt \quad \left(x+\frac{1}{x}+1=t\right) \\ &= \int \frac{2}{u^2 + 1}du \quad (\sqrt{t} = u) \\ &= 2\tan^{-1}u \\ &= 2\tan^{-1}\sqrt{t} \\ &= 2\tan^{-1}\sqrt{x+\frac{1}{x}+1} \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

인수분해를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{-1}^0 \frac{(x-1)^4 + 8(x-1)^3 + 24(x-1)^2 + 32(x-1) + 16}{(x-1)^3}dx \\ &= \int_{-1}^0 \left(x+7+\frac{24}{x-1} + \frac{32}{(x-1)^2} + \frac{16}{(x-1)^3}\right)dx \\ &= \frac{33}{2}-24\ln 2 \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

$f(x)=\sin x, g(x) = \ln x$라 하자. 그러면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \left(\cos x\times \ln x + \sin x\ times \frac{1}{x}\right)dx \\ &= \int (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))dx \\ &= f(x)g(x) \\ &= \sin x\ln x \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

분자, 분모를 $x^3$으로 나누면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{x^{-3}}{1-x^{-2}}dx \\ &= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt \quad (1-x^{-2} = t) \\ &= \frac{1}{2}\ln t \\ &= \frac{1}{2}\ln\left(1-\frac{1}{x^2}\right) \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$x=\sin t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\frac{\pi}{6} t\sin t dt \\ &= (-t\cos t + \sin t)\bigg|_0^\frac{\pi}{6} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{12}\pi \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

베타함수와 감마함수를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \mathrm{B}(2, 100) \\ &= \frac{\Gamma(2)\Gamma(100)}{\Gamma(102)} \\ &= \frac{1! \times 99!}{101!} \\ &= \frac{1}{101 \times 100} \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

반각공식과 배각공식을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin(2x)\cos(2x)}{\sin x}dx \\ &=4\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x\cos(2x) dx \\ &=4\int_0^\frac{\pi}{2}\cos x(2\cos^2 x - 1)dx \\ &= 4\left(2\times\frac{2}{3}-1\right) \\ &= \frac{4}{3} \end{align}$$

이다. 3번째 줄의 계산은 월리스 공식 (Wallis 공식)을 이용하였다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$x=t^6$으로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 6\int \frac{t^5}{t^3(t^2 + 1)} dt \\ &= 6\int \left(1 - \frac{1}{t^2 + 1}\right) dt \\ &= 6t - 6\tan^{-1}t \\ &= 6x^\frac{1}{6} - 6\tan^{-1}\left(x^\frac{1}{6}\right) \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

$\sqrt{2}x = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - 1}}dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\cosh^{-1}t \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}x + \sqrt{2x^2 - 1}) \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

분자, 분모에 $e^x$를 곱하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^x - 1}} dx \\ &= \int \frac{1}{t\sqrt{t-1}}dt \quad (e^x = t) \\ &= \int \frac{2}{u^2 + 1}du \quad (\sqrt{t-1} = u) \\ &= 2\tan^{-1}(u) \\ &= 2\tan^{-1}(\sqrt{1-t}) \\ &= 2\tan^{-1}(\sqrt{1-e^x}) \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int\frac{1}{t^2 + 4} dt \\ &= \frac{1}{4}\tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) \\ &= \frac{1}{4}\tan^{-1}\left(\frac{x^2}{2}\right) \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 21번

분자, 분모를 $\cos^2 x$로 나누면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int\frac{\sec^2 x}{(1-\tan x)^2} dx \\ &= -2\int\frac{1}{t^2} dt \quad (1-\tan x = t) \\ &= \frac{2}{t} \\ &= \frac{2}{1-\tan x}\end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 22번

부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= -\frac{x}{\sinh x} + \int \frac{1}{\sinh x}dx \\ &= -\frac{x}{\sinh x} + 2\int \frac{e^x}{e^{2x} - 1} dx \\ &= -\frac{x}{\sinh x} - 2\int \frac{1}{1-t^2}dt \quad (e^x = t) \\ &= -\frac{x}{\sinh x} - \ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \\ &= -\frac{x}{\sinh x} - \ln\left(\frac{1+e^x}{1-e^x}\right) \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 23번

$1+x^3 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{3}\int_1^9 (t-1)\sqrt{t} dt \\ &= \frac{1}{3}\int_1^9 \left(t^\frac{3}{2} - t^\frac{1}{2}\right) dt \\ &= \frac{1192}{45} \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 24번

풀이1) 함수 $f(a)$를

$$f(a) = \int_0^1 \frac{x^a - 1}{\ln x} dx$$

라 하자. 그러면 $f(0)=0$이고, 구하는 값은 $f(7)$이다.

이제 양변을 $a$로 미분하면 Leibniz rule로부터

$$\begin{align} f'(a)&= \frac{d}{da}\int_0^1 \frac{x^a - 1}{\ln x} dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{x^a - 1}{\ln x}\right) dx \\ &= \int_0^1 x^a dx \\ &= \frac{1}{a+1} \end{align}$$

이다. 적분하면 $f(a)=\ln(a+1)$이고 따라서 주어진 적분은

$$\text{(Integral)} = f(7) = \ln 8$$

이다.

풀이2) 이중적분의 순서변경을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^7 x^y dydx \\ &= \int_0^7 \int_0^1 x^y dxdy \\ &= \int_0^7 \frac{1}{y+1}dy \\ &= \ln 8 \end{align}$$

이다.

2012 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 25번

직접 통분하면 주어진 적분은

$$\begin{align}\text{(Integral)} &= \int \sqrt{\frac{1}{\sin x}-\sin x}dx \\ &= \int \sqrt{\frac{1-\sin^2 x}{\sin x}}dx \\ &= \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}dx \\ &= \int \frac{1}{\sqrt{t}}dt \quad (\sin x=t) \\ &= 2\sqrt{t} \\ &= 2\sqrt{\sin x} \end{align}$$

이다. 완벽히 동일한 문항이 (2011년 기출문제) 8번에 있습니다.

이상으로 2012 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

조금 까다로웠던 문제로는 10번, 24번이 있었습니다.

특히 24번의 경우는 Leibniz rule 등의 도움을 받지 않고 순수하게 일변수로 접근했을 시

머리가 많이 아프게 될 문제죠...

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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