문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2013 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2023. 5. 14. 22:00

MIT Integration Bee 2013 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2013 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2013년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= -\int 2\ln 2 dx \\ &= -2x\ln 2 \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

구간을 나누어 적분하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_{-1}^0 e^{-x}dx + \int_0^3 e^x dx \\ &= e^3+ e-2\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

$f(x)=\sin x, g(x)=\ln x$라고 하자. 그러면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}dx \\ &= \int \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' dx \\ &= \frac{f(x)}{g(x)} \\ &= \frac{\sin x}{\ln x}\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

평행이동을 이용하자. 그러면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_1^{11} (x-1)^3 dx \\ &= \int_0^{10} x^3 dx \\ &= \frac{10^4}{4}\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

주어진 적분은 제 1사분면에 위치한 타원 $3x^2 + y^2 = 12$의 넓이와 같다.

따라서 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{4}\times 2 \times 2\sqrt{3}\pi \\ &= \sqrt{3}\pi\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

주어진 두 함수

$$(x-3)^7 \quad \sin(x-3)$$

은 모두 점 $(3, 0)$에 대칭이다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^6 x dx \\ &= 18\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \sin x\sec xdx \\ &= \int \tan xdx \\ &= -\ln(\cos x) \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

인수분해를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{(x+1)(x-1)(x^3 + 1)}{(x-1)(x^3 + 1)}dx \\ &= \int (x+1) dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 + x \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

부분적분을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= (x\ln x - x)\bigg |_0^1 \\ &= -1\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

분자, 분모에 $e^x$를 곱하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{e^x}{e^x - 1}dx \\ &= \int \frac{(e^x - 1)'}{e^x - 1} dx \\ &= \ln(e^x - 1) \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

삼각함수의 성질과 월리스 공식(Wallis 공식)을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^\pi (\sin^2 x-\sin^4 x)dx \\ &= 2\int_0^\frac{\pi}{2} (\sin^2 x-\sin^4 x)dx \\ &= 2 \left(\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2} - \frac{3}{4}\times\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \frac{\pi}{8}\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

$\pi\sqrt{x} = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 2\int_0^{21\pi}\sin tdt \\ &= 2\int_{20\pi}^{21\pi} \sin tdt \\ &= 2\int_0^\pi \sin t dt \\ &= 4\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int (\sec^2 x - 1)dx \\ &= \tan x - x \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

함수 $f(x)=x - \lfloor x\rfloor $에 대하여 다음이 성립한다.

1. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x+1)$이다.

2. $f(x) = x\quad (0\le x < 1)$이다.

따라서 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int_0^{256} f(x)^2 dx \\ &= 256 \int_0^1 f(x)^2 dx \\ &= 256 \int_0^1 x^2 dx \\ &=\frac{256}{3}\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$x=t^4$로 치환한 뒤 부분적분을 반복적용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 4\int t^3 e^t dt \\ &= 4(t^3 - 3t^2 + 6t - 6)e^t \\ &= 4\left(x^\frac{3}{4} - 3\sqrt{x} + 6x^\frac{1}{4} - 6\right)e^{x^\frac{1}{4}} \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

삼각함수의 성질과 이 포스팅을 참고하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{\cos^2 x}{\sin x}dx \\ &= \int \frac{1-\sin^2 x}{\sin x}dx \\ &= \int (\csc x-\sin x) dx \\ &= \ln(\csc x-\cot x) + \cos x \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$f(x) = x, g(x)=(\ln x)^2 $라고 하자. 그러면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \left(1\times (\ln x)^2 + x \times \frac{2\ln x}{x}\right) dx \\ &= \int (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))dx \\ &= \int (f(x)g(x))' dx \\ &= f(x)g(x) \\ &= x(\ln x)^2 \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

$$x^3 = x(x^2 + 1) - x$$

임을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int\left(x - \frac{x}{x^2 + 1}\right)dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

분모의 이차식을 완전제곱식으로 만들면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int\frac{1}{(x-1)^2 + 1} dx \\ &= \tan^{-1}(x-1)\end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

로그의 성질과 삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \sin x\ln(\sin^2 x)dx \\ &= \frac{1}{2}\int \sin x\ln(1-\cos^2 x)dx \\ &= -\frac{1}{2}\int (\ln(1+t) + \ln(1-t)) dt\quad (\cos x = t) \\ &= -\frac{1}{2}\left(t\ln(1-t^2) + \ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) - 2t\right) \\ &= \cos x - \cos x \ln\sin x - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right) \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 21번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-t^2}dt \\ &= \frac{1}{4}\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \\ &= \frac{1}{4}\ln\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right) \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 22번

$x=2\sin t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= 4\sqrt{3}\int \cos^2tdt \\ &= 2\sqrt{3}\int(1+\cos(2t))dt \\ &= 2\sqrt{3}t + \sqrt{3}\sin(2t) \\ &= 2\sqrt{3}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + 2\sqrt{3}\sin t\cos t \\ &= 2\sqrt{3}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}x\sqrt{4-x^2} \end{align}$$

$$\left(\sin t=\frac{x}{2},\quad \cos t = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\right)$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 23번

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int (\sec^7 x - \sec^5 x)\tan x dx \\ &= \int (t^6 - t^4)dt \quad(\sec x= t) \\ &= \frac{1}{7}t^7 - \frac{1}{5}t^5 \\ &= \frac{1}{7}\sec^7 x - \frac{1}{5}\sec^5 x \end{align}$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 24번

구하는 적분값을

$$I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\frac{1}{1-\sin x}dx$$

라 하자. $x=-t$로 치환하면

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4}\frac{1}{1+\sin t}dt = \textcolor{red}{I}$$

이다. 둘을 더하면

$$\begin{align} I+\textcolor{red}{I}&= \int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4} \frac{2}{1-\sin^2 x}dx \\ &= 2\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4} \sec^2 x dx \\ &= 4\int_0^\frac{\pi}{4} \sec^2 x dx \\ &= 4 \\ &= 2I\end{align}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\text{(Integral)} = I = 2$$

이다.

2013 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 25번

$$\sqrt{x^2 - 2}=t \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 2 = t^2$$

으로 치환하면

$$dx = \frac{t}{x}dt$$

가 성립한다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{align} \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{xt}\times\frac{t}{x}dt \\ &= \int \frac{1}{x^2} dt \\ &= \int \frac{1}{t^2 + 2}dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2 - 2}}{\sqrt{2}}\right)\end{align}$$

이다.

이상으로 2013 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

'문제풀이 > MIT Integration Bee' 카테고리의 다른 글

MIT Integration Bee 2015 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.16
MIT Integration Bee 2014 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.15
MIT Integration Bee 2012 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.13
MIT Integration Bee 2011 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.12
2010 MIT Integration Bee 해설 및 문제풀이 (Qualifier) (0)	2023.05.09

현재글MIT Integration Bee 2013 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

Today :
Yesterday :

수학올인의 수학 기록