문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2022 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2024. 2. 15. 23:56

MIT Integration Bee 2022 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2022 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

추가로, 2022년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

분모의 미분이 분자이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \ln(x+\sin x)
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

$x>0$에서
$$\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2}$$
가 성립함을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{\pi}{2}\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x}dx \\
&= \frac{\pi}{4}\ln 3
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

임의의 자연수 $n$에 대하여
$$\int_0^{n+1} \lfloor x\rfloor \lceil x \rceil dx = \sum_{k=0}^n (k^2 + k)$$
이고
$$\int_0^{n+1} x^2 dx = \frac{1}{3}(n+1)^3$$
이므로, $n=2021$을 대입하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 674
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

분자 분모에 $\cosh x+\sinh x$를 곱하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \sinh x(\sinh x+\cosh x)dx \quad (\cosh^2 x-\sinh^2 x =1) \\
    &= \int e^x \sinh xdx \quad (\sinh x+\cosh x = e^x) \\
    &= \frac{1}{2}\int (e^{2x} - 1)dx \\
    &= \frac{1}{4}e^{2x} - \frac{1}{2}x
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

다음이 성립한다.
$$\begin{align}
    & I = \int x\sqrt{x+1}dx = \frac{2}{15}(3x-2)(x+1)^{\frac{3}{2}} \\
    & J = \int x\sqrt{x-1}dx = \frac{2}{15}(3x+2)(x-1)^{\frac{3}{2}}
\end{align}$$
이제 분자 분모에 $\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}$을 곱하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int x(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1})dx \\
    &= \frac{1}{2}(I - J) \\
    &= \frac{1}{15} ((3x-2)(x+1)^{\frac{3}{2}} - (3x+2)(x-1)^{\frac{3}{2}})
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

피적분함수를 $f(x)$라 하면 $f(x) = f(\pi - x)$가 성립한다.
즉, 피적분함수는 점 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$에 대칭이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 0
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int t\sin tdt \\
    &= \frac{1}{2}(\sin t - t\cos t) \\
    &= \frac{1}{2}(\sin x^2 - x^2 \cos x^2)
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \frac{1}{1-t^2}dt \\
    &= \frac{1}{4}\ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) \\
    &= \frac{1}{4}\ln\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

쌍곡함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \text{sech}^2 x dx \\
&= \tanh x
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

식을 적절히 조작하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 e^{e^x}(1-e^{-x})dx \\
    &= \int_0^1 e^{e^x - x}(e^x - 1)dx \\
    &= \int_1^{e-1} e^tdt \quad (e^x - x = t) \\
    &= e^{e-1} - e
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

방정식
$$x = \sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\quad (0\leq x\leq 3)$$
을 풀면
$$x=0,\frac{1}{2}$$
를 얻는다. 그런데 무한히 합성했을 때 두 고정점 중 $0$으로 수렴할 수는 없으므로
$$\lim_{n\to\infty} \sin\left(\frac{\pi}{3}\sin\left(\cdots \sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\cdots\right)\right) = \frac{1}{2}$$
이다. 한편 수렴성이 확인되었고, 유계이므로 지배수렴정리로부터 적분과 극한의 순서를 바꿀 수 있다.
따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^3 \frac{1}{2}dx \\
&= \frac{3}{2}
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^1 t\sqrt{1-t}dt \\
    &= 2\int_0^1 (1-u)\sqrt{u}du \quad (1-t = u) \\
    &= \frac{8}{15}
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

식을 조작하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 6\int \frac{x^3}{x^3 +3x^2 + 6x + 6}dx \\
    &= 6\int \left(1 - \frac{3x^2 + 6x + 6}{x^3 + 3x^2 + 6x+6}\right)dx \\
    &= 6(x - \ln (x^3 + 3x^2 + 6x+6))
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

삼각함수의 합(차)를 곱으로 바꾸면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int 2\sin(\sin x)\cos x dx \\
    &= 2\int \sin tdt \quad (\sin x = t) \\
    &= -2\cos t \\
    &= -2\cos(\sin x)
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

두 번째 항을 $(\tan^2 x\sec^2 x) \times \sec^3 x$로 보고 부분적분하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \tan^4 x\sec^3 xdx + \frac{1}{3}\tan^3 x\sec^3 x - \int \tan^4 x\sec^3 xdx \\
&= \frac{1}{3}\tan^3 x\sec^3 x
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$x=e^t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int t(1+e^t)e^{e^t + t}dt \\
    &= te^{e^t + t} - \int e^t e^{e^t}dt \\
    &= te^{e^t + t} - e^{e^t} \\
    &= x\ln x\ln(\ln x) - x
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

각각 통분하여 계산해보면
$$\begin{align}
    & \frac{1}{1+\tan x} + \frac{1}{1+\cot x} = 1 \\
    & \frac{1}{1+\sin x} + \frac{1}{1+\csc x} = 1 \\
    & \frac{1}{1+\cos x} + \frac{1}{1+\sec x} = 1
\end{align}$$
이 성립하므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int 3 dx \\
    &= 3x
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

식을 조작한 뒤 치환적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{1}{\sqrt{x}} \times \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx \\
    &= 2\int \frac{1}{sqrt{1-t^2}}dt \quad (\sqrt{x} = t) \\
    &= 2\sin^{-1}t \\
    &= 2\sin^{-1}\sqrt{x}
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

먼저 $|x| < 1$인 실수 $x$에 대하여 다음이 성립한다.
$$\begin{align}
    & \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \\
    & \sum_{n=0}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} \\
    & \sum_{n=0}^{\infty} n^2x^n = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3} \\
\end{align}$$
이제 직접 적분한 뒤 위 식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n} {{n+3}\choose n} \\
    &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^n} {{n+3}\choose 3} \\
    &= \frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}(n+3)(n+2) \\
    &= \frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2 + 3n + 2}{2^n} \\
    &= \frac{1}{6} (6 + 3\times 2 + 2) \\
    &= \frac{7}{3}
\end{align}$$
이다.

2022 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

분자 분모를 $\cos^2 x$로 나누면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x + 1}dx \\
    &= \int \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x + 2}dx \\
    &= \int \frac{1}{t^2 + 2}dt \quad (\tan x = t) \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)
\end{align}$$
이다.

이상으로 2022 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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